【問題】
已知O為座標原點，點（1，1）在拋物線C：x^2=2px(p>0)上，過點B(0,-1)的直線交C與P、Q兩點，則：
A.C的準線為y=-1
B.直線AB與C相切
C.|OP|•|OQ|>|OA|^2
D.|BP|•|BQ|>|BA|^2
【答案】
BCD
【出處】
2022年普通高等學校招生全國統一考試(全國新高考I卷)數學卷第11題，多選題
【參考圖像】
【解答過程】
【繪製參考圖像的Canvas代碼】
<!DOCTYPE html>
<html lang="utf-8">
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8"/>
<head>
<title>UNASSIGNED</title>
<style type="text/css">
.centerlize{
margin:0 auto;
border:0px solid red;
width:1200px;height:600px;
}
</style>
</head>
<body onload="draw();">
<div class="centerlize">
<canvas id="myCanvas" width="10px" height="10px" style="border:1px dashed black;">
如果看到這段文字説您的瀏覽器尚不支持HTML5 Canvas，請更換瀏覽器再試.
</canvas>
</div>
</body>
</html>
<script type="text/javascript">
<!--
/*****************************************************************
* 將全體代碼拷貝下來，粘貼到文本編輯器中，另存為.html文件，
* 再用chrome瀏覽器打開，就能看到動畫效果。
******************************************************************/
// 系統常量定義處
const TITLE="y=x^2與y=kx-1圖像及交點"; // 圖像標題
const WIDTH=1200; // 畫布寬度
const HEIGHT=600; // 畫布高度
const SCALE_UNIT=50; // 縮放比例 25對應x∈[-24,24],100對應x∈[-6,6]
// 系統變量定義處
var context=0; // 畫布環境
var stage; // 舞台對象
var timeElapsed=0; // 動畫運作的的時間
const TIME_END=100000; // 動畫運作的期限
//-------------------------------
// Canvas開始運作，由body_onload調用
//-------------------------------
function draw(){
document.title=TITLE;
// 畫圖前初始化
var canvas=document.getElementById('myCanvas');
canvas.width=WIDTH;
canvas.height=HEIGHT;
context=canvas.getContext('2d');
// 進行屏幕座標系到笛卡爾座標系的變換
// 處置完成前，原點在左上角，向右為X正向，向下為Y的正向
// 處置完畢後，原點移動到畫布中央，向右為X正向，向上為Y的正向
context.translate(WIDTH/2,HEIGHT/2);
context.rotate(Math.PI);
context.scale(-1,1);
// 初始化舞台
stage=new Stage();
// 開始動畫
animate();
};
//-------------------------------
// 畫圖
//-------------------------------
function animate(){
timeElapsed+=1;// 時間每輪增加1
stage.update(timeElapsed);
stage.paintBg(context);
stage.paint(context);
if(timeElapsed<TIME_END){
window.requestAnimationFrame(animate);
}
}
//-------------------------------
// 舞台對象定義處
//-------------------------------
function Stage(){
// 內置對象(非必要勿更改)
var obj=new Object;
// 對象下的曲線數組(非必要勿更改)
obj.curves=[];
// 塞入曲線1(按需修改設定項)
obj.curves.push({
name:"曲線:y=x^2",
xEnd:3,
x:-3,
y:0,
setY:function(x){
this.y=x*x;// 解析式
let coord={"x":x,"y":this.y};
this.pts0.push(coord);
},
"pts0":[],
});
// 塞入曲線2(按需修改設定項)
obj.curves.push({
name:"曲線:y=2.5x-1",
xEnd:3,
x:-3,
y:0,
setY:function(x){
this.y=2.5*x-1;// 解析式
let coord={"x":x,"y":this.y};
this.pts0.push(coord);
},
"pts0":[],
});
// 隨時間更新位置(非必要勿更改)
obj.update=function(t){
for(var i=0;i<this.curves.length;i++){
var curve=this.curves[i];
if(curve.x<curve.xEnd){
curve.x+=0.01;
curve.setY(curve.x);
}
}
};
// 畫前景
obj.paint=function(ctx){
// 手動標記點或線
var a=createPt(1,1);
var b=createPt(0,-1);
paintPoint(ctx,a.x,a.y,"A","blue");
paintPoint(ctx,b.x,b.y,"B","blue");
var p=createPt(2,4);
paintPoint(ctx,p.x,p.y,"P","blue");
var q=createPt(0.5,0.27);
paintPoint(ctx,q.x,q.y,"Q","blue");
//paintLine(ctx,a.x,a.y,b.x,b.y,"red");
// 文字左上角位置(可手動修改設定值)
const X_START=-400; // 文字橫起點
const Y_START=200; // 文字縱起點
const OFFSET=50; // 文字間隔
// 遍歷曲線數組(非必要勿更改)
for(var i=0;i<this.curves.length;i++){
var curve=this.curves[i];// 曲線對象
var color;// 曲線及文字説明顏色
if(curve.color){
color=curve.color;
}else{
color=getColor(i);
}
// 曲線名稱
drawText(ctx,curve.name,X_START,Y_START-i*OFFSET,color,18);
// 曲線當前點座標
drawText(ctx,"當前 X:"+curve.x.toFixed(3)+" Y:"+curve.y.toFixed(3),X_START,Y_START-20-(i)*OFFSET,color,18);
// 繪製曲線
if(curve.pts0){
paintCurve(ctx,color,curve.pts0);
// 繪製曲線分段1的高低點(可選)
var mm=findMaxMin(curve.pts0);
//markMaxMin(ctx,mm,color);
}
if(curve.pts1){
paintCurve(ctx,color,curve.pts1);
// 繪製曲線分段2的高低點(可選)
//var mm=findMaxMin(curve.pts1);
//markMaxMin(ctx,mm,color);
}
if(curve.pts2){
paintCurve(ctx,color,curve.pts2);
// 繪製曲線分段3的高低點(可選)
//var mm=findMaxMin(curve.pts2);
//markMaxMin(ctx,mm,color);
}
if(curve.pts3){
paintCurve(ctx,color,curve.pts3);
// 繪製曲線分段4的高低點(可選)
//var mm=findMaxMin(curve.pts3);
//markMaxMin(ctx,mm,color);
}
if(curve.pts4){
paintCurve(ctx,color,curve.pts4);
// 繪製曲線分段4的高低點(可選)
//var mm=findMaxMin(curve.pts3);
//markMaxMin(ctx,mm,color);
}
}
};
// 畫背景(非必要不更改)
obj.paintBg=function(ctx){
// 清屏
ctx.clearRect(-600,-300,1200,600);
ctx.fillStyle="rgb(251,255,253)";
ctx.fillRect(-600,-300,1200,600);
// 畫X軸
drawAxisX(ctx,-600,600,50);
// 畫Y軸
drawAxisY(ctx,-300,300,50);
// 畫網格線
drawGrid(ctx,-600,-300,50,1200,600,50);
// 左上角標題
var metrics = ctx.measureText(TITLE);
var textWidth = metrics.width;
drawText(ctx,TITLE,-WIDTH/2+textWidth+3,HEIGHT/2-30,"grey",18);
// 右下角作者，日期
const waterMarkTxt="逆火原創@"+(new Date()).toLocaleDateString();
metrics = ctx.measureText(waterMarkTxt);
textWidth = metrics.width;
drawText(ctx,waterMarkTxt,WIDTH/2-textWidth,-HEIGHT/2,"lightGrey",16);
};
return obj;
}
// 描繪並標識一個點(對外函數)
function paintLine(ctx,x1,y1,x2,y2,color){
var startx=x1*SCALE_UNIT;
var starty=y1*SCALE_UNIT;
var endx=x2*SCALE_UNIT;
var endy=y2*SCALE_UNIT;
ctx.strokeStyle=color;
ctx.lineWidth=0.5;
// 畫線
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(startx,starty);
ctx.lineTo(endx,endy);
ctx.closePath();
ctx.stroke();
}
// 描繪並標識一個點(對外函數)
function paintPoint(ctx,x,y,text,color){
var xReal=x*SCALE_UNIT;
var yReal=y*SCALE_UNIT;
ctx.strokeStyle=color;
ctx.lineWidth=0.5;
// 縱橫位置點劃線，可人為選擇
/*ctx.save();
ctx.setLineDash([5,5]);
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(xReal,0);
ctx.lineTo(xReal,yReal);
ctx.lineTo(0,yReal);
ctx.stroke();
ctx.restore();*/
// 畫圈
ctx.beginPath();
ctx.arc(xReal,yReal,4,0,Math.PI*2,false);
ctx.closePath();
ctx.stroke();
// 寫文字
var metrics = ctx.measureText(text);
var textWidth = metrics.width;
drawText(ctx,text,xReal+textWidth+2,yReal-5,color,12);
}
// 連點成線畫曲線
function paintCurve(ctx,color,cds){
ctx.save();
ctx.strokeStyle = color;
ctx.lineWidth=1;
ctx.beginPath();
for(var i=0; i<cds.length; i++){
let y=cds[i].y;
if(Math.abs(cds[i].y*SCALE_UNIT)<300){
ctx.lineTo(cds[i].x*SCALE_UNIT,cds[i].y*SCALE_UNIT);
}
}
ctx.stroke();
ctx.restore();
}
// 找到座標數組的最大最小值
function findMaxMin(cds){
if(cds.length<1){
return null;
}
var retval={max:-10000,max_x:0,min:10000,min_x:0};
for(var i=0;i<cds.length;i++){
var y=cds[i].y;
if(y>retval.max){
retval.max=y;
retval.max_x=cds[i].x;
}
if(y<retval.min){
retval.min=y;
retval.min_x=cds[i].x;
}
}
return retval;
}
// 繪出最大最小值
function markMaxMin(ctx,mm,color){
if(mm==null){
return;
}
// 最大值
var x=mm.max_x;
var y=mm.max;
ctx.strokeStyle=color;
ctx.beginPath();
ctx.arc(x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,5,0,Math.PI*2,false);
ctx.closePath();
ctx.stroke();
var text="max@x="+x.toFixed(3)+" y="+y.toFixed(3);
drawText(ctx,text,x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,color,12);
// 最小值
var x=mm.min_x;
var y=mm.min;
ctx.strokeStyle=color;
ctx.beginPath();
ctx.arc(x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,5,0,Math.PI*2,false);
ctx.closePath();
ctx.stroke();
var text="min@x="+x.toFixed(3)+" y="+y.toFixed(3);
drawText(ctx,text,x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,color,12);
}
// 定點畫實心圓
function drawSolidCircle(ctx,x,y,r,color){
ctx.save();
ctx.beginPath();
ctx.arc(x,y,r,0,2*Math.PI);
ctx.fillStyle=color;
ctx.fill();
ctx.restore();
}
// 兩點之間畫線段
function drawLine(ctx,x1,y1,x2,y2,color){
ctx.save();
ctx.lineWidth=0.25;
ctx.strokeStyle=color;
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(x1,y1);
ctx.lineTo(x2,y2);
ctx.closePath();
ctx.stroke();
ctx.restore();
}
// 畫橫軸
function drawAxisX(ctx,start,end,step){
ctx.save();
const AXISY_COLOR="black";
ctx.lineWidth=0.5;
ctx.strokeStyle=AXISY_COLOR;
// 畫軸
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(start, 0);
ctx.lineTo(end, 0);
ctx.closePath();
ctx.stroke();
// 畫箭頭
ctx.fillStyle=AXISY_COLOR;
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(end-Math.cos(getRad(15))*12, Math.sin(getRad(15))*12);
ctx.lineTo(end, 0);
ctx.lineTo(end-Math.cos(getRad(15))*12, -Math.sin(getRad(15))*12);
ctx.lineTo(end-6, 0);
ctx.closePath();
ctx.fill();
// 畫刻度
var x,y;
y=5;
for(x=start;x<end;x+=step){
if(x==0){
continue;
}
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(x, 0);
ctx.lineTo(x, y);
ctx.closePath();
ctx.stroke();
var text=formatScale(x/SCALE_UNIT);
drawText(ctx,text,x,y-20,AXISY_COLOR,12);
}
ctx.restore();
}
// 畫縱軸
function drawAxisY(ctx,start,end,step){
ctx.save();
const AXISY_COLOR="black";
ctx.lineWidth=0.5;
ctx.strokeStyle=AXISY_COLOR;
// 畫軸
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(0, start);
ctx.lineTo(0, end);
ctx.closePath();
ctx.stroke();
// 畫箭頭
ctx.fillStyle=AXISY_COLOR;
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(Math.sin(getRad(15))*12, end-Math.cos(getRad(15))*12);
ctx.lineTo(0, end);
ctx.lineTo(-Math.sin(getRad(15))*12, end-Math.cos(getRad(15))*12);
ctx.lineTo(0, end-6);
ctx.closePath();
ctx.fill();
// 畫刻度
var x,y;
x=5;
for(y=start;y<end;y+=step){
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(x, y);
ctx.lineTo(0, y);
ctx.closePath();
ctx.stroke();
var text=formatScale(y/SCALE_UNIT);
var metrics = ctx.measureText(text);
var textWidth = metrics.width;
drawText(ctx,text,x-textWidth-5,y,AXISY_COLOR,12);
}
ctx.restore();
}
//-------------------------------
// 得到整型後的刻度
//-------------------------------
function formatScale(scale){
var s=scale*10;
if(s % 5==0){
return scale+"";
}else{
return scale.toFixed(2);
}
}
// 畫網格線
function drawGrid(ctx,x1,y1,step1,x2,y2,step2){
ctx.save();
ctx.lineWidth=0.25;
ctx.strokeStyle="lightgrey";
// 分十格
var x,y;
for(x=x1;x<x2;x+=step1/10){
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(x, y1);
ctx.lineTo(x, y2);
ctx.closePath();
ctx.stroke();
}
for(y=y1;y<y2;y+=step2/10){
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(x1, y);
ctx.lineTo(x2, y);
ctx.closePath();
ctx.stroke();
}
// 十小格間的分割線
ctx.lineWidth=0.25;
ctx.strokeStyle="grey";
ctx.setLineDash([5,5]);// 設置虛線,起止點間包含五空格五劃線共十段
for(x=x1;x<x2;x+=step1){
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(x, y1);
ctx.lineTo(x, y2);
ctx.stroke();
}
for(y=y1;y<y2;y+=step2){
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(x1, y);
ctx.lineTo(x2, y);
ctx.stroke();
}
ctx.restore();
}
//-------------------------------
// 角度得到弧度
//-------------------------------
function getRad(degree){
return degree/180*Math.PI;
}
//-------------------------------
// 得到顏色
//-------------------------------
function getColor(index){
var arr=[
"maroon" /* 栗色 */,
"orange" /* 橙色 */,
"blue" /* 藍色 */,
"green" /* 綠色 */,
"fuchsia"/* 紫紅 */,
"grey" /* 灰色 */,
"lime" /* 酸橙 */,
"navy" /* 海藍 */,
"purple" /* 紫色 */,
"skyblue"/* 天藍 */,
"teal" /* 藍綠 */,
"yellow" /* 亮黃 */,
"aqua" /* 湖綠 */,
"red" /* 紅色 */,
"black" /* 黑色 */,
];
return arr[index % arr.length];
}
//-------------------------------------
// 繪製文字,指定顏色
// ctx:繪圖環境
// text:文字
// x,y:座標
// color:顏色
// size:字體大小
//-------------------------------------
function drawText(ctx,text,x,y,color,size){
ctx.save();
ctx.translate(x,y)
ctx.rotate(getRad(180))
ctx.scale(-1,1)
ctx.textBaseline="bottom";
ctx.textAlign="center";
ctx.fillStyle=color;
ctx.font = size+"px consolas";
ctx.fillText(text,0,0);
ctx.restore();
}
// JS開立方
function kaiLiFang(x){
if(x>0){
return Math.pow(x,1/3);
}else{
return -Math.pow(-x,1/3);
}
}
// JS求階乘
function factorial(n) {
let result = 1;
for (let i = 2; i <= n; i++) {
result *= i;
}
return result;
}
/*----------------------------------------------------------
基礎函數:用於繪製矩形
ctx:繪圖上下文
x:矩形中心橫座標
y:矩形中心縱座標
width:矩形寬
height:矩形高
----------------------------------------------------------*/
function drawRect(ctx,x,y,width,height){
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(x-width/2,y-height/2);
ctx.lineTo(x+width/2,y-height/2);
ctx.lineTo(x+width/2,y+height/2);
ctx.lineTo(x-width/2,y+height/2);
ctx.closePath();
}
/*----------------------------------------------------------
基礎函數:用於繪製實心圓
ctx:繪圖上下文
x:矩形中心橫座標
y:矩形中心縱座標
r:圓半徑
style:填充圓的方案
----------------------------------------------------------*/
function drawSolidCircle(ctx,x,y,r,style){
ctx.fillStyle=style;
ctx.beginPath();
ctx.arc(x,y,r,0,Math.PI*2,false);
ctx.closePath();
ctx.fill();
}
/*----------------------------------------------------------
基礎函數:創建一個二維座標點
base:基準點,入參必需有x和y兩參數
radius:當前點到基準點的距離
theta:當前點到基準點的角度
Pt即Point
----------------------------------------------------------*/
function createPt3(base,radius,theta){
var retval={};
retval.x=base.x+radius*Math.cos(theta);
retval.y=base.y+radius*Math.sin(theta);
return retval;
}
/*----------------------------------------------------------
基礎函數:創建一個二維座標點
baseX:基準點橫座標
baseY:基準點縱座標
radius:當前點到基準點的距離
theta:當前點到基準點的角度
Pt即Point
----------------------------------------------------------*/
function createPt2(baseX,baseY,radius,theta){
var retval={};
retval.x=baseX+radius*Math.cos(theta);
retval.y=baseY+radius*Math.sin(theta);
return retval;
}
/*----------------------------------------------------------
基礎函數:創建一個二維座標點
x:橫座標
y:縱座標
Pt即Point
----------------------------------------------------------*/
function createPt(x,y){
var retval={};
retval.x=x;
retval.y=y;
return retval;
}
/*----------------------------------------------------------
基礎函數:延時若干毫秒
milliseconds:毫秒數
----------------------------------------------------------*/
function sleep(milliSeconds) {
const date = Date.now();
let currDate = null;
while (currDate - date < milliSeconds) {
currDate = Date.now();
}
}
/*----------------------------------------------------------
基礎函數:書寫文字
ctx:繪圖上下文
x:橫座標
y:縱座標
text:文字
font:字體
color:顏色
----------------------------------------------------------*/
function writeText(ctx,x,y,text,font,color){
ctx.save();
ctx.textBaseline="bottom";
ctx.textAlign="center";
ctx.font = font;
ctx.fillStyle=color;
ctx.fillText(text,x,y);
ctx.restore();
}
//-->
/**********************************************
每逢你想要批評任何人的時候，
要記住，
這個世界上並非所有的人，
都有你擁有的那些優越條件。
**********************************************/
</script>