黃金分割法（Golden Section Search）是一種用於一維單峯函數極小值搜索的數值優化方法。在計算點到三階（三次）Bezier曲線的最短距離時，可以將問題轉化為一個單變量優化問題：尋找參數 t∈[0,1] 使得點到曲線的距離最小。由於距離函數通常在區間 [0,1] 上是單峯的（或可近似為單峯），因此適合使用黃金分割法進行求解。

1. 三次 Bezier 曲線定義

給定四個控制點 P₀, P₁, P₂, P₃（每個點為二維或三維向量），三次 Bezier 曲線的參數方程為：

B(t) = (1 − t)³ P₀ + 3(1 − t)² t P₁ + 3(1 − t) t² P₂ + t³ P₃,  t ∈ [0, 1]

2. 距離平方函數（目標函數）

設給定點為 Q，則點 Q 到曲線上點 B(t) 的歐氏距離平方為：

f(t) = ‖B(t) − Q‖²
= (Bₓ(t) − Qₓ)² + (Bᵧ(t) − Qᵧ)²  （二維情形）

注：使用距離平方 f(t) 而非距離 D(t) = √f(t)，因為兩者在最小值點處取得相同的 t，且 f(t) 更光滑、計算更高效。

3. 黃金分割法（Golden Section Search）原理

黃金分割法用於在區間 [a, b] 上尋找單峯函數 f(t) 的極小值點。其核心思想是通過不斷縮小區間，保持兩個內點按黃金比例分佈。

定義黃金比例常數：
φ = (√5 − 1) / 2 ≈ 0.6180339887

初始區間：a = 0, b = 1
設置容差 ε（如 1e−6）作為終止條件。

算法步驟如下：

1. 計算區間長度：L = b − a
2. 設置兩個內點：
   c = b − φ·L
   d = a + φ·L
3. 計算函數值：f(c) 和 f(d)
4. 迭代直到 |b − a| < ε：
   - 若 f(c) < f(d)，則極小值在 [a, d] 內 → 令 b = d, d = c, L = b − a, c = b − φ·L
   - 否則，極小值在 [c, b] 內 → 令 a = c, c = d, L = b − a, d = a + φ·L
5. 返回 t* ≈ (a + b)/2 作為最優參數

4. 完整計算流程

1. 輸入：控制點 P₀, P₁, P₂, P₃；查詢點 Q；容差 ε
2. 定義函數 f(t) = ‖B(t) − Q‖²，其中 B(t) 按三次 Bezier 公式計算
3. 在區間 [0, 1] 上對 f(t) 應用黃金分割法，求得最優參數 t*
4. 最短距離為 √f(t*)，最近點為 B(t*)

5. 注意事項

• f(t) 在 [0,1] 上不一定嚴格單峯（可能存在多個局部極小值），但在多數實際應用中表現良好。若需全局最優，可結合多起點搜索或先採樣粗略定位。
• 黃金分割法僅適用於一維優化，此處因 Bezier 曲線由單參數 t 控制，故適用。
• 所有運算均為標量和向量運算，易於編程實現（如 Python、C++、MATLAB 等）。