λ 演算(lambda calculus)是一套用於研究函數定義、函數應用和遞歸的形式系統。 它
由阿隆佐·邱奇(Alonzo Church，1903年6月14日－1995年8月11日)和他的學生在20世
紀30年代引入。 邱奇運用λ演算在1936年給出判定性問題(Entscheidungsproblem)的
一個否定的答案。 這種演算可以用來清晰地定義什麼是一個可計算函數。 Lambda 演算
對函數式編程語言(如Lisp語言)有着巨大的影響，Lambda 演算可以被稱為最小的通用程
序設計語言。 它包括一條變換規則（變量替換）和一條函數定義方式，Lambda 演算之通
用在於，任何一個可計算函數都能用這種形式來表達和求值。因而，它等價於圖靈機。

從簡單的列子開始，首先是個恆等函數：
id(x) = x
代入一個變量 x，立即返回 x (恆等函數返回它的輸入值，不管它是什麼)。再來個方程式：
sqsum(x, y) = x*x + y*y
代入兩個變量 x 和 y，返回它們的平方和(xx + yy)。 接下來，從上面的兩個例子中褪去光彩的外衣，我們會發現 λ 演算(lambda calculus)的理念： 首先發現的是函數的功能其實與前面函數的名字沒有關係，存在一個匿名的形式來表達同樣的功能：

id(x) = x
等同於匿名式：(x) → x
sqsum(x, y) = x*x + y*y
等同於匿名式：(x, y) → x*x + y*y

箭頭的右側為函數體，指明返回的內容。 λ 演算式為了使匿名式區別其他的含義，在它前面加個 λ
符號，箭頭改為.後，因為有了點分隔符，參數也不需要括號：

匿名式：(x) → x
等同於 λ 演算式: λx.x
匿名式：(x, y) → x*x + y*y
等同於 λ 演算式: λxy.x*x + y*y

第二個發現的是函數的功能與函數中的參數名字選擇沒有關係，它們可以是任意符號，只要函數體中應用到的變量符號和參數符號相同即可：

匿名式：(x) → x
等同於：(y) → y
即：λx.x == λy.y
匿名式：(x, y) → x*x + y*y
等同於：(u, v) → u*u + v*v
即：λxy.x*x + y*y == λuv.u*u + v*v

最後發現的是需要輸入多個參數的函數，並不需要一次連續地代入，可以重新組織用返回一個僅一個 參數的函數來實現一樣的功能。 也就是説函數可以在代入參數的過程中，可以在時間上前後分開：

匿名式：(x, y) → x*x + y*y
等同於：x → (y → x*x + y*y)
λ 演算式: λxy.x*x + y*y
等同於: λx.λy.x*x + y*y

這個變換的過程稱為"Currying"，柯里化（Currying）是把接受多個參數的函數變換成接受一個單一參數（最初函數的第一個參數）的函數， 並且返回用餘下的參數來計算結果的新函數。給定兩個參數：

((x, y) → x*x + y*y)(5, 2)
= 5*5 + 2*2 = 29
Currying 後:
((x → (y → x*x + y*y))(5))(2)
= (y → 5*5 + y*y)(2)
= 5*5 + 2*2 = 29

Currying 之前與之後，我們得到相同的結果。説明一點：在第一個參數賦值之後，x*x 變成一個常
數。 奇妙的是：一個函數接受一個參數並返回另一個接受餘下的參數的函數。

總結一下，λ 演算(lambda calculus)的思想：函數本身是數據，也是值，可以被傳遞，可以被計
算。 函數像數值、字符串等其他的常用數據類型一樣，是數據類型中的一等公民：

• 函數可以動態創建。
• 函數可以不依賴符號名稱而獨立存在。
• 函數可以賦值給變量。
• 函數可以作為參數傳遞給其他函數。
• 函數可以作為其他函數的返回值。
• 函數可以保存在數據結構中。