數據分析時，我們經常需要從樣本數據推斷總體特徵。

而抽樣分佈就是連接樣本與總體的重要橋樑，如果你不理解它，就無法理解為什麼我們可以通過調查幾千人來預測全國的選舉結果，也無法理解A/B測試背後的邏輯。

本文將盡量使用大白話和Python代碼，帶你徹底搞懂抽樣分佈，並掌握最常用的四大分佈：Z分佈、T分佈、卡方分佈和F分佈。

1. 什麼是抽樣分佈

想象一下，你想了解全市高中生的平均身高，由於時間和資源限制，你不可能測量每個學生。

你的做法是：

去學校隨機挑選100位學生（這是一個樣本，Sample）。

計算這100位學生的平均身高，比如是150cm（這是統計量，Statistic）。

但是，一次抽樣可靠嗎？

如果你運氣不好，剛好選到的學生都是個子偏高的怎麼辦？

於是，你決定重複這個過程：

第2次，再選100位學生，算平均值是155cm。

第3次，再選100位學生，算平均值是148cm。

……

你重複了1000次。

現在，你手裏有了1000個“平均身高”的數據。如果你把這1000個數據畫成一個直方圖，這個圖展示的分佈，就是抽樣分佈。

一句話定義：

抽樣分佈不是原始數據的分佈，而是統計量（如平均值、方差）的概率分佈。

2. 抽樣分佈的重要性

在現實工作中，我們通常只有一次抽樣的機會（因為成本太高），我們手裏只有一個樣本數據。

我們面臨的終極問題是：

既然我看不到總體（所有中學生身高），我怎麼敢用手裏這唯一的樣本（100位學生的身高）去代表總體？

抽樣分佈 就是連接 “樣本” 和 “總體” 的橋樑：

總體是未知的真相，樣本是我們手裏的碎片。

抽樣分佈告訴我們：樣本統計量圍繞總體真值波動的規律。

知道了這個規律（分佈），我們就能算出：我手裏這個樣本，有多大的概率是靠譜的？

這就是置信區間和假設檢驗的基礎。

3. 四大常用抽樣分佈

接下來，我們介紹四種最常用的抽樣分佈，並使用Python代碼來做簡單的演示。

3.1. Z分佈

Z分佈是統計學中的“皇冠”。

當樣本量足夠大（通常n > 30）時，根據中心極限定理，樣本均值的分佈近似於正態分佈。

使用Z分佈的前提是，假設已知總體方差，或者樣本量極大以至於樣本方差可以代替總體方差。

它的使用場景一般在大樣本的均值檢驗（如：網站百萬流量下的轉化率分析）。

這種方法的優點在於其數學性質非常好，查表非常方便，而且計算過程也很簡單。

然而，它也存在一些侷限性，在現實生活中，我們很難準確地知道整個羣體的方差情況。

此外，在樣本數量較少的情況下，使用這種方法可能會導致較大的誤差。

下面用代碼模擬一個Z分佈的示例。

import numpy as np
import scipy.stats as stats

# 演示Z分佈在置信區間計算中的應用
# 假設我們調查了100名學生的月支出，平均值為2500元，已知總體標準差為500元
sample_mean = 2500   # 樣本平均值
population_std = 500 # 總體標準差
sample_size = 100    # 樣本數量
confidence_level = 0.95  # 置信水平

# 計算標準誤差
standard_error = population_std / np.sqrt(sample_size)

# 計算Z值 (95%置信水平對應的Z值)
z_value = stats.norm.ppf((1 + confidence_level) / 2)

# 計算置信區間
margin_of_error = z_value * standard_error
confidence_interval = (sample_mean - margin_of_error, sample_mean + margin_of_error)

print(f"樣本均值: {sample_mean}元")
print(f"95%置信區間: [{confidence_interval[0]:.2f}, {confidence_interval[1]:.2f}]元")
print(
    f"這意味着我們有95%的把握認為總體平均月支出在{confidence_interval[0]:.2f}元到{confidence_interval[1]:.2f}元之間"
)

# 運行結果：
'''
樣本均值: 2500元
95%置信區間: [2402.00, 2598.00]元
這意味着我們有95%的把握認為總體平均月支出在2402.00元到2598.00元之間
'''

代碼中用到了scipy庫中的stats.norm.ppf()函數，這是累積分佈函數(CDF)的反函數，可用來計算Z值。

使用測試數據繪製的圖如下：

# 生成Z分佈數據
x = np.linspace(-4, 4, 1000)
z_distribution = stats.norm.pdf(x)

3.2. T分佈

T分佈是為了解決 “小樣本”問題而生的。

當你手頭數據很少（比如n < 30），且不知道總體方差時，Z分佈會低估誤差，這時候必須用T分佈。

比如，在小樣本實驗（比如只有10只小白鼠參與的藥物實驗）或AB測試的早期階段中，優先考慮使用T分佈。

當處理小規模的數據集時，T分佈能夠提供更加準確的結果。

這是因為T分佈具有所謂的“厚尾”特徵，這意味着它對於數據中的不確定性給予了更多的關注，特別是提高了對極端值出現可能性的認可。

這樣的特性使得在面對有限數量樣本的情況下，T分佈相較於Z分佈而言，能更真實地反映出數據的變異程度。

然而，T分佈並非沒有缺點。

隨着收集到的數據量不斷增加，我們會觀察到T分佈逐漸趨向於標準正態分佈，也就是我們常説的Z分佈。

這表明，在大規模數據集面前，T分佈所提供的額外靈活性變得不那麼顯著了。

下面用代碼模擬一個T分佈的示例。

# T分佈在置信區間計算中的應用
# 假設我們調查了25名員工的月薪，平均值為8000元，樣本標準差為1500元
sample_mean = 8000  # 樣本平均值
sample_std = 1500   # 樣本標準差
sample_size = 25    # 樣本數量
confidence_level = 0.95   # 置信水平

# 計算標準誤
standard_error = sample_std / np.sqrt(sample_size)

# 計算T值 (95%置信水平，自由度=n-1)
t_value = stats.t.ppf((1 + confidence_level) / 2, sample_size - 1)

# 計算置信區間
margin_of_error = t_value * standard_error
confidence_interval = (sample_mean - margin_of_error, sample_mean + margin_of_error)

print(f"樣本均值: {sample_mean}元")
print(f"樣本標準差: {sample_std}元")
print(f"樣本大小: {sample_size}")
print(f"95%置信區間: [{confidence_interval[0]:.2f}, {confidence_interval[1]:.2f}]元")
print(f"注意：由於樣本量較小且總體方差未知，我們使用T分佈而不是Z分佈")

# 運行結果：
'''
樣本均值: 8000元
樣本標準差: 1500元
樣本大小: 25
95%置信區間: [7380.83, 8619.17]元
注意：由於樣本量較小且總體方差未知，我們使用T分佈而不是Z分佈
'''

使用測試數據繪製不同自由度的T分佈圖形如下：

# 生成數據
x = np.linspace(-4, 4, 1000)
z_distribution = stats.norm.pdf(x)

# 繪製不同自由度的T分佈
degrees_of_freedom = [1, 5, 10, 30]

for df in degrees_of_freedom:
    t_distribution = stats.t.pdf(x, df)

3.3. 卡方分佈

前兩個分佈主要用於處理 “數值型” 數據（平均值），而 卡方分佈 主要用於 “類別型” 數據。

卡方分佈的主要應用場景有：

1. 獨立性檢驗：性別和購買偏好是否有關係？
2. 擬合優度檢驗：這枚骰子是否均勻（實際觀測頻數 vs 理論期望頻數）？
3. 方差的檢驗：生產零件的波動率是否在控制範圍內？

卡方分佈在處理非數值型數據，比如分類數據時特別有用。

不過，它也有一定的侷限性，首先，它對樣本數量有一定的要求，通常每個類別中的樣本數不能太少，否則結果可能不太準確。

另外，這種方法得到的結果分佈是不對稱的，並且只會出現正值。

下面用代碼模擬一個卡方分佈的示例。

# 卡方分佈在獨立性檢驗中的應用示例
# 模擬一個問卷調查數據：性別與產品偏好是否獨立
# 創建模擬數據
observed = np.array(
    [[30, 20, 10], [15, 25, 20]]  # 男性選擇A、B、C產品的人數
)  # 女性選擇A、B、C產品的人數

print("觀察到的列聯表:")
print("        產品A  產品B  產品C")
print(f"男性    {observed[0][0]}    {observed[0][1]}    {observed[0][2]}")
print(f"女性    {observed[1][0]}    {observed[1][1]}    {observed[1][2]}")

# 執行卡方獨立性檢驗
chi2_stat, p_value, dof, expected = stats.chi2_contingency(observed)

print(f"\n卡方檢驗結果:")
print(f"卡方統計量: {chi2_stat:.4f}")
print(f"P值: {p_value:.4f}")
print(f"自由度: {dof}")

alpha = 0.05
if p_value < alpha:
    print("結論: 拒絕原假設，性別與產品偏好之間存在顯著關聯")
else:
    print("結論: 無法拒絕原假設，性別與產品偏好之間沒有顯著關聯")

# 運行結果：
'''
觀察到的列聯表:
        產品A  產品B  產品C
男性    30    20    10
女性    15    25    20

卡方檢驗結果:
卡方統計量: 8.8889
P值: 0.0117
自由度: 2
結論: 拒絕原假設，性別與產品偏好之間存在顯著關聯
'''

使用測試數據繪製不同自由度的卡方分佈圖形如下：

x = np.linspace(0, 20, 1000)
degrees_of_freedom_chi2 = [2, 4, 6, 8, 10]

for df in degrees_of_freedom_chi2:
    chi2_distribution = stats.chi2.pdf(x, df)

3.4. F分佈

F分佈主要關注兩個方差的比率。如果説T檢驗是比 “均值” ，那F檢驗就是比 “波動” 。

F分佈的主要應用場景有：

1. 方差分析 (ANOVA)：比較3組及以上數據的均值差異（本質是比較組間方差和組內方差的比值）。
2. 比較兩個總體方差：機器A和機器B生產的產品，誰的質量更穩定？

F分佈是ANOVA分析的核心，它的優勢在於它能夠同時處理多組數據之間的差異。

然而，其侷限性表現在對數據正態性假設的敏感度較高。

下面用代碼模擬一個F分佈的示例。

# F分佈在方差分析中的應用示例
# 模擬三種不同教學方法下學生的考試成績
np.random.seed(42)  # 確保結果可重現

# 生成三個組的模擬成績數據
method_a = np.random.normal(75, 8, 30)  # 教學方法A
method_b = np.random.normal(80, 10, 30)  # 教學方法B
method_c = np.random.normal(72, 9, 30)  # 教學方法C

# 執行單因素方差分析
f_stat, p_value = stats.f_oneway(method_a, method_b, method_c)

print("方差分析(ANOVA)示例: 比較三種教學方法的效果")
print(
    f"教學方法A: 平均分 = {np.mean(method_a):.2f}, 標準差 = {np.std(method_a, ddof=1):.2f}"
)
print(
    f"教學方法B: 平均分 = {np.mean(method_b):.2f}, 標準差 = {np.std(method_b, ddof=1):.2f}"
)
print(
    f"教學方法C: 平均分 = {np.mean(method_c):.2f}, 標準差 = {np.std(method_c, ddof=1):.2f}"
)
print(f"\n方差分析結果:")
print(f"F統計量: {f_stat:.4f}")
print(f"P值: {p_value:.4f}")

alpha = 0.05
if p_value < alpha:
    print("結論: 拒絕原假設，至少有一種教學方法的效果與其他方法有顯著差異")
else:
    print("結論: 無法拒絕原假設，三種教學方法的效果沒有顯著差異")

# 運行結果：
'''
方差分析(ANOVA)示例: 比較三種教學方法的效果
教學方法A: 平均分 = 73.49, 標準差 = 7.20
教學方法B: 平均分 = 78.79, 標準差 = 9.31
教學方法C: 平均分 = 72.12, 標準差 = 8.93

方差分析結果:
F統計量: 5.1166
P值: 0.0079
結論: 拒絕原假設，至少有一種教學方法的效果與其他方法有顯著差異
'''

使用測試數據繪製不同自由度的F分佈圖形如下：

x = np.linspace(0, 5, 1000)
# 定義幾組自由度組合
df_combinations = [(10, 10), (10, 20), (20, 10), (20, 20)]

for (df1, df2) in df_combinations:
    f_distribution = stats.f.pdf(x, df1, df2)

4. 總結

最後，為了理清思路，我整理了一個對比表格。

當我們面對數據時，可以按圖索驥：

數據分析不僅僅是敲代碼（Python）或畫圖（Tableau/Excel），其靈魂在於統計思維。

抽樣分佈告訴我們要對隨機性保持敬畏：不要輕信一次結果，要看這次結果在分佈中的位置。