有理數

有理數出現的最早，它是伴隨人們的生產實踐而生產的。0也是有理數。有理數是整數和分數的集合，整數也可看做是分母為一的分數。注意，“無限循環小數” 也可以表示為有理數，是因為 “無限循環小數” 可以表示為分數。然後 “無限不循環小數” 無法表示為分數，所以它被稱之為 “無理數”。

無理數

無理數的發現，應該歸功於古希臘畢達哥拉斯學派。無理數的出現，與德謨克利特的“原子論”發生矛盾。根據這一理論，任何兩個線段的比，不過是它們所含原子數目的經。而 “等邊直角三角形” 的勾股定理卻説明了存在着不可通約的線段。

也就是説使用勾股定理求“等邊直角三角形”斜邊的長時，得到的是“無限不循環小數”，這個數無法用分數表示，“無限不循環小數”被稱之為無理數。

不可通約線段的存在，使古希臘的數學家感到左右為難，因為他們的學説中只有整數和分數的概念，他們不能完全表示正方形對角線與邊長的比，也就是説，在他們那裏，正方形對角線與邊長的比不能用任何“數”來表示。

虛數

到了16世紀，意大利數學家卡爾達諾在其著作《大術》中，把記為 1545R15-15m 這是最早的虛數記號。但他認為這僅僅是個形式表示而已。1637年法國數學家笛卡爾，在其《幾何學》中第一次給出“虛數”的名稱，並和“實數”相對應。

1545年意大利米蘭的卡爾達諾發表了文藝復興時期最重要的一部代數學著作，提出了一種求解一般三次方程的求解公式，例如 \(x^{3}+ax+b=0\)

當卡丹試圖用該公式解方程

在那個年代負數本身就是令人懷疑的，負數的平方根就更加荒謬了。因此卡丹的公式給出 x=(2+j)+(2-j)=4。容易證明x=4確實是原方程的根，但卡丹不曾熱心解釋 \((-121)1/2\)

直到19世紀初，高斯系統地使用了i這個符號，並主張用數偶（a、b）來表示a+bi，稱為複數，虛數才逐步得以通行。虛數闖進數的領域時，人們對它的實際用處一無所知，在實際生活中似乎沒有用複數來表達的量，因此在很長一段時間裏，人們對它產生過種種懷疑和誤解。笛卡爾稱“虛數”的本意就是指它是虛假的；萊布尼茲則認為：“虛數是美妙而奇異的神靈隱蔽所，它幾乎是既存在又不存在的兩棲物。”歐拉儘管在許多地方用了虛數，但又説：“一切形如,√-1，√-2的數學式子都是不可能有的，想象的數，因為它們所表示的是負數的平方根。對於這類數，我們只能斷言，它們既不是什麼都不是，也不比什麼都不是多些什麼，更不比什麼都不是少些什麼，它們純屬虛幻。”

繼歐拉之後，挪威測量學家維塞爾提出把複數（a+bi）用平面上的點來表示。後來高斯又提出了複平面的概念，終於使複數有了立足之地，也為複數的應用開闢了道路。現 在，複數一般用來表示向量（有方向的量），這在水利學、地圖學、航空學中的應用十分廣泛，虛數越來越顯示出其豐富的內容。

但這是説不通的。因為這樣的話，你就使兩個數（-1 和 +1）經過運算後，都可以得到1，但是 \(i\)

Complex Numbers: Introduction 複數介紹

Up until now, you've been told that you can't take the square root of a negative number. That's because you had no numbers which were negative after you'd squared them (so you couldn't "go backwards" by taking the square root). Every number was positive after you squared it. So you couldn't very well square-root a negative and expect to come up with anything sensible.

通常我們都認為負數是無法進行平方根的。那是因為，在一般情況下所有數字在經過平方運算後都會得到一個正數（負數的平方也是一個正數）。

Now, however, you can take the square root of a negative number, but it involves using a new number to do it. This new number was invented (discovered?) around the time of the Reformation. At that time, nobody believed that any "real world" use would be found for this new number, other than easing the computations involved in solving certain equations, so the new number was viewed as being a pretend number invented for convenience sake.

不過現在我們可以計算一個負數的平方根。只不過需要一個新的數字，這個數字誕生於一箇中宗教改革的時代。那個時候，沒有人相信除了一些單純的數學計算中，人們會在真實世界中使用這個數字。這個數被視為了只是單純為了計算的方便發明的東西。

(But then, when you think about it, aren't all numbers inventions? It's not like numbers grow on trees! They live in our heads. We made them all up! Why not invent a new one, as long as it works okay with what we already have?)

Anyway, this new number was called "i", standing for "imaginary", because "everybody knew" that i wasn't "real". (That's why you couldn't take the square root of a negative number before: you only had "real" numbers; that is, numbers without the "i" in them.) The imaginary is defined to be:

這個新的數字稱為 "i" ，它是人們想像出來的，因為 “所有人都知道” 它不是一個真實的數字。

複平面

　利用複數的幾何表示法，複數又可以用座標平面上的向量來表示，兩個複數相加可以按照向量加法的平行四邊形法則來進行，一個複數乘以i（或-i）相當於表示此複數的向量逆（或順）時針旋轉90。這就使得物理上的許多向量：力、速度、加速度等等，都可以藉助於複數來進行計算，使複數成為物理學和其他自然科學的重要工具。

為什麼要用複數

複數理論已越來越顯出它的重要性,它不但對於數學本身的發展有着極其重要的意義,而且為證明機翼上升力的基本定理起到了重要作用,並在解決堤壩滲水的問題中顯示了它的威力,也為建立巨大水電站提供了重要的理論依據.引入複數後,所有的多項式方程都有解,於是任何一個多項式都可以分解為一次因式的乘積.其次,複數引入之後就給複分析創造了條件.許多原來只定義在實數上的函數可以定義在複數上,如ζ函數,然後擴充定義之後ζ函數又反過來推出許多定理,比如素數定理.又例如,物理上用複數處理電學問題,霍金也用複數表示時間.

負數沒有實平方根,所以判別式小於0的二次方程無解.
為解決這個問題,首先引入複數的是數學家卡爾達諾.他把純虛數表示為根號負數.事實上,他也覺得很矛盾.一方面,他覺得虛數是虛幻的,構造的,“什麼也沒有”,但是又“比什麼也沒有多一點東西”.
當年,數學家引入複數並沒有過於高深的目的,但是,複數的引入卻導致了數學乃至自然科學的巨大進步.引入複數後,所有的多項式方程都有解,於是任何一個多項式都可以分解為一次因式的乘積.其次,複數引入之後就給複分析創造了條件.許多原來只定義在實數上的函數可以定義在複數上,如ζ函數,然後擴充定義之後ζ函數又反過來推出許多定理,比如素數定理.又例如,物理上用複數處理電學問題,霍金也用複數表示時間.