一、廣播的定義

廣播是指 NumPy 在計算時，將較小的數組 “廣播” 到較大數組的形狀，以便兩者可以進行 element-wise（元素級）操作的機制。

換句話説，當兩個數組形狀不同時，NumPy 會嘗試將它們調整為相同的形狀，然後再執行運算。

二、廣播的規則

NumPy 的廣播機制遵循一套嚴格的規則，以確定兩個數組是否可以進行廣播，以及如何進行廣播。

廣播規則（ Broadcasting Rules）：

為了確定兩個數組是否兼容，NumPy 會從尾部開始比較它們的形狀維度。

1. 維度兼容：

• 如果兩個數組的維度數量不同，NumPy 會在維度較少的數組前面補 1，直到兩個數組的維度數量相同。
• 然後，比較它們的每一對維度大小。對於每一對維度，以下情況視為兼容：a. 兩個維度大小相等。b. 其中一個維度大小為1。

2. 結果形狀：

• 如果兩個數組根據上述規則是兼容的，那麼廣播後的結果數組的形狀，將在每一個維度上取兩個數組對應維度大小的最大值。

3. 廣播過程：

• 維度大小為 1 的數組，會在其維度上進行複製，以匹配另一個數組對應維度的大小。

三、廣播的示例

讓我們通過幾個例子來理解這些規則。

示例 1：標量（0-D 數組）與數組

這是最常見也最簡單的廣播場景。

python

運行

import numpy as np

a = np.array([1, 2, 3])
b = 2

result = a + b

print(f"a: {a}, shape: {a.shape}")
print(f"b: {b}, shape: {b.shape}")
print(f"a + b: {result}, shape: {result.shape}")

輸出：

plaintext

a: [1 2 3], shape: (3,)
b: 2, shape: ()
a + b: [3 4 5], shape: (3,)

分析：

1. a 的形狀是 (3,)，b 的形狀是 ()。
2. 規則 1：b 維度較少，前面補 1，形狀變為 (1,)。現在比較 (3,) 和 (1,)。
3. 規則 1a/b：3 和 1 是兼容的。
4. 規則 2：結果形狀是 (max(3,1),) -> (3,)。
5. 規則 3：b（值為 2）在其維度（大小為 1）上被複制 3 次，變成 [2, 2, 2]，然後與 a 相加。

示例 2：二維數組與一維數組

python

運行

import numpy as np

a = np.array([[1, 2, 3],
              [4, 5, 6]])
b = np.array([10, 20, 30])

result = a + b

print(f"a:\n{a}, shape: {a.shape}")
print(f"b: {b}, shape: {b.shape}")
print(f"a + b:\n{result}, shape: {result.shape}")

輸出：

plaintext

a:
[[1 2 3]
 [4 5 6]], shape: (2, 3)
b: [10 20 30], shape: (3,)
a + b:
[[11 22 33]
 [14 25 36]], shape: (2, 3)

分析：

1. a 的形狀是 (2, 3)，b 的形狀是 (3,)。
2. 規則 1：b 維度較少，前面補 1，形狀變為 (1, 3)。現在比較 (2, 3) 和 (1, 3)。
3. 規則 1a/b：2 和 1 兼容，3 和 3 兼容。
4. 規則 2：結果形狀是 (max(2,1), max(3,3)) -> (2, 3)。
5. 規則 3：b 的形狀從 (1, 3) 廣播到 (2, 3)，即第一行 [10, 20, 30] 被複制到第二行，然後與 a 相加。

示例 3：兩個數組都需要廣播

python

運行

import numpy as np

a = np.array([[1, 2],
              [3, 4]])
b = np.array([[10],
              [20]])

result = a + b

print(f"a:\n{a}, shape: {a.shape}")
print(f"b:\n{b}, shape: {b.shape}")
print(f"a + b:\n{result}, shape: {result.shape}")

輸出：

plaintext

a:
[[1 2]
 [3 4]], shape: (2, 2)
b:
[[10]
 [20]], shape: (2, 1)
a + b:
[[11 12]
 [23 24]], shape: (2, 2)

分析：

1. a 的形狀是 (2, 2)，b 的形狀是 (2, 1)。
2. 規則 1：維度數量相同，直接比較。2 vs 2 (兼容), 2 vs 1 (兼容)。
3. 規則 2：結果形狀是 (2, 2)。
4. 規則 3：b 的形狀從 (2, 1) 廣播到 (2, 2)，即每一列 [10] 和 [20] 被複制到第二列，然後與 a 相加。

示例 4：不兼容的情況

python

運行

import numpy as np

a = np.array([[1, 2, 3],
              [4, 5, 6]])
b = np.array([10, 20])

# 嘗試相加
try:
    result = a + b
except ValueError as e:
    print(f"錯誤: {e}")

輸出：

plaintext

錯誤: operands could not be broadcast together with shapes (2,3) (2,)

分析：

1. a 的形狀是 (2, 3)，b 的形狀是 (2,)。
2. 規則 1：b 補 1 後形狀變為 (1, 2)。現在比較 (2, 3) 和 (1, 2)。
3. 比較維度：

• 從尾部開始：3 vs 2。
• 3 和 2 既不相等，也沒有一個是 1。不兼容。

4. 因此，廣播失敗，拋出 ValueError。

四、廣播的優勢

1. 代碼簡潔：避免了繁瑣的 for 循環，使代碼更易讀、更優雅。
2. 性能高效：廣播是在 C 語言級別實現的，比 Python 原生的循環快得多。它避免了不必要的數據複製，直接在原始內存上進行操作。
3. 內存高效：當一個小數組廣播到一個大數組時，NumPy 並不會實際創建一個更大的數組副本，而是在邏輯上 “擴展” 它，從而節省內存。

五、總結

數組廣播是 NumPy 中一個極其重要的特性，它使得對不同形狀數組進行算術運算變得非常方便和高效。

核心要點：

• 廣播遵循一套從右到左的維度兼容性規則。
• 維度大小為 1 的數組可以被 “複製” 以匹配另一個數組的維度。
• 如果兩個數組的維度在任何位置都不兼容（既不相等也非 1），則廣播失敗。
• 熟練掌握廣播規則，能讓你寫出更簡潔、更高效的 NumPy 代碼。