6. 信號與系統的時域和頻域特性
目錄
- 6. 信號與系統的時域和頻域特性
- 6.1 傅里葉變換的模和相位表示
- 6.2 線性時不變系統頻率響應的模和相位表示
- 6.3 理想頻率選擇性濾波器的時域特性
- 6.4 非理想濾波器的時域和頻域特性討論
- 6.5 一階與二階連續時間系統
6.1 傅里葉變換的模和相位表示
連續時間傅里葉變換\(X(j\omega)\)的模-相表示為
\[X(j\omega) = |X(j\omega)|e^{j\measuredangle X(j\omega)} \]
6.2 線性時不變系統頻率響應的模和相位表示
\[Y(j\omega) = H(j\omega)X(j\omega) \]
所以
\[|Y(j\omega)| = |H(j\omega)||X(j\omega)|\\ \measuredangle Y(j\omega)= \measuredangle H(j\omega) + \measuredangle X(j\omega) \]
所以\(|H(j\omega)|\)一般稱為系統的增益(gain)，\(\measuredangle H(j\omega)\)一般稱為系統的時移(phase shift)。
6.2.1 線性與非線性相位
具有整數斜率的線性相位的系統所產生的輸出就是輸入的簡單移位。
如果輸入信號受到的是一個\(\omega\)的非線性函數的相移，那麼在輸入中各不同頻率的復指數分量都將以某種方式移位，從而在它們的相對相位上發生變化。
6.2.2 羣時延
如果系統對所有的頻率分量都有相同的相位延時，那麼信號經過該系統後，波形形狀將之前完全相同，只是有一定的延時，但如果不同頻率分量有不同的相位延時，那麼信號經過該系統後將產生形變。
羣時延(group delay)代表的就是某個頻率及其周邊頻率的差異程度。
\[\tau(\omega) = -\frac d{d\omega}\{\measuredangle H(j\omega) \} \]
6.2.3 對數模和相位圖
通過取對數的方式可以將兩個模的相乘轉換為兩個對數模的相加。在一個對數標尺上展現傅里葉變換的模可以在一個較寬的動態範圍內將細節顯示出來。
一般所採用的對數標尺的單位：分貝。採用\(20\log_{10}\)為單位的稱為分貝(decibels)，20dB就對應於10倍的增益，6dB就近似對應於2倍增益。
\(20\log_{10}|H(j\omega)|\)和\(\measuredangle H(j\omega)\)對於\(\log_{10}(\omega)\)的圖稱為伯德圖(Bode)。
6.3 理想頻率選擇性濾波器的時域特性
6.4 非理想濾波器的時域和頻域特性討論
由於理想濾波器物理上是不可實現的，所以在濾波器的通帶和阻帶之間允許存在一個過渡帶。
由於理想低通濾波器的階躍響應問題，在連續時間和離散時間的兩種情況下，在跳變點附近呈現過沖和振盪的現象。因此允許通帶在單位增益上有某些偏離，稱為通帶起伏(passband ripple)（或波紋）。允許阻帶在零增益上有某些偏離，稱為阻帶起伏(stopband ripple)（或波紋）。過渡帶與通帶之間的交界線稱為通帶邊緣(passband edge)（或通帶頻率），過渡帶與阻帶之間的交界線稱為阻帶邊緣(stopband edge)（或阻帶頻率）。
6.5 一階與二階連續時間系統
6.5.1 一階連續時間系統
\[\tau\frac{dy(t)}{dt} + y(t) = x(t) \]
相應的一節系統的頻率響應為
\[H(j\omega) = \frac1{j\omega\tau + 1}\tag{6.22} \]
單位衝激響應
\[h(t) = \frac1\tau e^{-t/\tau}u(t) \]
參數\(\tau\)稱為系統的時間常數，它控制着一階系統響應的快慢。
系統的階躍響應為
\[s(t) = h(t)*u(t) =[1-e^{-t/\tau}]u(t) \]
從表達式可知，所謂系統的階躍響應，即系統的單位衝擊響應與階躍函數的卷積。
由式6.22知
\[20\log_{10}|H(j\omega)| = -10\log_{10}[( \omega\tau)^2+1] \]
則對於\(\omega\tau<<1\)，對數模擬近似等於零。對於\(\omega\tau >> 1\)，
\[\begin{aligned}20\log_{10}|H(j\omega)| &= -10\log_{10}[( \omega\tau)^2+1]\\ &=-20\log_{10}\omega - 20\log_{10}\tau \end{aligned} \]
對數模擬為\(\log_{10}\omega\)的線性函數。
當\(\omega\tau = 1\)時，稱\(\omega= 1/\tau\)為轉折頻率(break frequency)，其實際值近似為-3dB。
可以看到時間和頻率的相反關係。當\(\tau\)減小時，h(t)變得向原點壓縮，加速了系統的時間響應，階躍響應的上升時間就減少了；與此同時，轉折頻率(\(1/\tau\))升高，即\(|H(j\omega)|\approx 1\)的頻率範圍更寬。這點可以從時域和頻域的系統響應的表達式可以看出。
一階連續時間系統的近似伯德圖
當\(\omega\tau\ll1\)時，對數模近似為0
\[20\log_{10}|H(j\omega)|\simeq0,\omega\ll1/\tau \]
對於\(\omega\tau\gg1\)，對數模近似為\(\log_{10}(\omega)\)的線性函數
\[20\log_{10}|H(j\omega)|\simeq-20\log_{10}(\omega)-20\log_{10}(\tau) \]
6.5.2 二階連續時間系統
\[\frac{d^2y(t)}{dt^2} + 2\zeta\omega_n\frac{dy(t)}{dt} + \omega_n^2y(t) = \omega_n^2x(t) \]
其代表的二階系統的頻率響應為
\[H(j\omega) = \frac{\omega_n^2}{(j\omega)^2+2\zeta\omega_n(j\omega)+\omega_n^2}\tag{6.33} \]
將分母因式化後
\[H(j\omega) = \frac{\omega_n^2}{(j\omega-c_1)(j\omega-c_2)} \]
其中
\[c_1 = -\zeta\omega_n + \omega_n\sqrt{\zeta^2-1}\\c_2 = -\zeta\omega_n-\omega_n\sqrt{\zeta^2-1} \]
式6.33還可以寫成
\[H(j\omega) = \frac{1}{(j\omega/\omega_n)^2 + 2\zeta(j\omega/\omega_n) + 1} \]
所以\(H(j\omega)\)是關於\((\omega/\omega_n)\)的函數
其中參數\(\zeta\)稱為阻尼係數(damping ratio)，\(\omega_n\)稱為無阻尼自然頻率(undamped natural frequency)。
- 當\(0<\zeta<1\)，二階系統的單位衝激響應就是一個衰減的振盪，這是系統是欠阻尼(underdamped)的；
- 當\(\zeta>1\)，單位衝激響應是兩個衰減的指數之差，這時系統是過阻尼(overdamped)的；
- 當\(\zeta = 1\)，稱系統為臨界阻尼(critical damped)的。
二階連續時間系統的近似伯德圖
由式6.33可得
\[20\log_{10}|H(j\omega)| = -10\log_{10}\left\{\left[1-\left(\frac{\omega}{\omega_n}\right)^2 \right]^2 +4\zeta^2\left(\frac{\omega}{\omega_n}\right)^2\right\} \]
由此可以導出高、低頻率的兩條近似線為
\[20\log_{10}|H(j\omega)| \approx \begin{cases}\begin{aligned}&0, &\omega\ll\omega_n\\&-40\log_{10}\omega+40\log_{10}\omega_n,&\omega\gg\omega_n\end{aligned}\end{cases} \]
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