4.4 切口效應

由於表面切口應力集中效應導致應力水平增加，典型的零件疲勞失效通常發生在表面上的切口處。切口被定義為幾何上的不連續，是由設計（如一個孔）或加工工藝引入的（以材料和製造缺陷的形式出現，如夾雜、焊接缺陷、鑄造缺陷或機械加工痕跡）。對於表面有切口的零件，可以利用名義應力（$ S \(）和彈性應力集中係數（\) K_t \(）的乘積來確定最大彈性切口應力#、##操作符，__VA_ARGS__有限元分析

根據彈性有限元分析，可以計算彈性切口最大應力。如果切口處材料實際上無彈性，有時也將其稱為偽應力。由於切口應力和應變是由有效截面材料特性控制的，用於確定$ K_t \(的名義應力的依據是：基本彈性理論的工程應力公式和沒有考慮切口存在的有效截面特性。 彈性應力集中係數是切口幾何形狀和加載類型的函數。對於零件幾何形狀和加載條件相對簡單，且名義應力易於定義的情況，彈性應力集中係數經常可以在相關參考文獻\)[33,34]\(中獲得。然而，由於大多數實際零件的幾何形狀和載荷的複雜性，\)

4.4.1 切口對疲勞極限的影響

從理論上來講，在具有相同的高周疲勞壽命（即相同的最大應力在有切口和無切口構件上生成微觀裂紋）情況下，光滑零件的名義強度應是有切口零件的$ K_t \(倍。然而試驗表明，在疲勞極限時，有切口零件在名義循環應力下的疲勞強度減小到光滑零件疲勞強度的\) 1/K_f \(，而不是\) 1/K_t \(。崔恩（Tryon）和戴伊（Dey）2003年進行了一項研究\)[48]\(，揭示了Ti - 6Al - 4V在高周疲勞區域切口對疲勞強度降低的影響，如圖4.22所示。\)

#、##操作符，__VA_ARGS__有限元分析_02

通常，$ K_f \(等於或小於\) K_t \(。\) K_t \(和\) K_f \(之差，隨着切口根部半徑和極限拉伸強度的減小而增加。這種差異可以通過局部週期性屈服特性或應力場強度理論\)[1][31][53]\(來解釋。 可以相信，材料切口根部的週期性屈服，使其最高應力降低到預測值的\) 1/K_t \(倍。同樣，基於應力場強度概念，可以發現：有切口零件的疲勞強度取決於局部損傷區域的平均應力，而非切口應力峯值。平均應力與應力分佈和切口局部損傷容積相關。圖4.23示出了應力峯值和材料相同的兩個有切口零件，其損傷區域是相同的。隨着切口半徑的減小，應力梯度變得陡峭，導致平均應力水平和\) K_f \(降低。圖4.24示出了鋼製零件的另一個示例，其切口相同，而極限強度值不同。由於高強度鋼的損傷區域通常小於中等強度鋼，較大損傷區域使平均應力值下降。因此，對於強度極限較低的材料，\) K_f \(值較低。 對於工程應用，通過切口靈敏度係數\)

#、##操作符，__VA_ARGS__迭代_03

方程(4.4.3)可以寫成關於$ K_f $的如下形式：

#、##操作符，__VA_ARGS__有限元分析_04

如果$ q = 1 \(、\) K_f = K_t \(，則認為材料是對切口非常敏感的；另一方面，如果\) q = 0 \(、\) K_f = 1.0 \(，則認為材料是對切口不敏感的（即所謂的切口鈍化效應）。 彼德森於1959年提出假設\)[33]\(，當在距切口根部臨界距離（\) a_p \(）處一個點上的應力等於光滑零件的疲勞強度時，則發生疲勞損傷。在假設切口附近的應力線性下降的基礎上，彼德森獲得了以下關於\)

\[q = \frac{1}{1 + \frac{a_p}{r}} \tag{4.4.5} \]

式中：$ r \(為切口根部半徑；\) a_p \(為與晶粒尺寸和加載方式相關的材料常數。圖4.25示出了由彼德森(1959年)繪製的切口靈敏度特性圖，用於確定高強度和低強度鋼的切口靈敏度。對於高強度鋼（\) S_u > 560\mathrm{MPa} \(），通過以下表達式可以建立\) a_p \(與極限拉伸強度\)

  • #、##操作符，__VA_ARGS__有限元分析_05$
    或
  • #、##操作符，__VA_ARGS__有限元分析_06 假設在距切口根部一段距離（\) a_N \(）上的平均應力等於光滑零件的疲勞極限，則發生疲勞損傷。諾伊貝爾（Neuber）於1946年提出了關於\) q \(的經驗方程\)[31]$：

\[q = \frac{1}{1 + \sqrt{\frac{a_N}{r}}} \tag{4.4.10} \]

式中：$ a_N \(為與晶粒尺寸相關的諾伊貝爾材料常數。圖4.26示出了諾伊貝爾的鋁合金切口靈敏度特性圖，用於確定諾伊貝爾材料常數\) \sqrt{a_N} \(（單位\) \sqrt{\mathrm{mm}} \(）與極限拉伸強度關係。 均質的細晶粒材料對切口非常敏感，對於灰鑄鐵來説，由於片狀石墨相當於內部切口，顯著降低了外部切口的影響，故而其具有較低的靈敏度係數。海伍德（Heywood）根據內在缺陷理論於1962年獲得了估算鑄鐵\) K_f \(值的經驗方程\)[12]$：

#、##操作符，__VA_ARGS__加載_07

式(4.4.11)中，$ a' \(對應於當量材料缺陷的長度。應該注意到，對於片狀石墨的鑄鐵，\) \sqrt{a'} = 0.65 \(，而對於球狀石墨的鑄鐵，\) \sqrt{a'} = 173.6/S_u \(；對於鎂合金，\) \sqrt{a'} = 0.0756 \(，式(4.4.11)中\) a' \(和\) r \(的單位為\) \mathrm{mm} \(，\) S_u \(的單位為\) \mathrm{MPa} \(。 為了説明應力梯度對疲勞強度降低的影響，希博爾和史蒂勒（Siebel and Stieler）沒有采用切口根部半徑，而是於1955年引入了一個新的參數\)[41]$，即相對應力梯度（RSG），其定義為

#、##操作符，__VA_ARGS__加載_08

式中：$ x \(為距切口根部的垂直距離；\) \sigma^e(x) \(為理論計算的彈性應力分佈，如圖4.27所示。 通過對光滑而有切口零件進行\) 2 \times 10^7 \(次循環的疲勞強度試驗，得到了一系列經驗曲線，建立了不同材料的\)

#、##操作符，__VA_ARGS__迭代_09

式中：$ C_{\text{SS}} \(為材料常數，取決於材料的屈服應力（\) S_y $）。
RSG值是根據彈性理論計算出來的，希博爾和史蒂勒給出了用於各種切口構件的RSG值：

  1. 切口半徑為（$ r \(）和有效橫截面寬度為（\) W $）的有切口板：
  • 軸向載荷：$ \text{RSG} = \frac{2}{r} \tag{4.4.14} $
  • 彎曲載荷：$ \text{RSG} = \frac{2}{r} + \frac{2}{w} \tag{4.4.15} $
  1. 切口半徑為（$ r \(）和最小直徑為（\) d $）的槽軸
  • 軸向載荷：$ \text{RSG} = \frac{2}{r} \tag{4.4.16} $
  • 彎曲載荷：$ \text{RSG} = \frac{2}{r} + \frac{2}{d} \tag{4.4.17} $
  • 扭轉載荷：$ \text{RSG} = \frac{1}{r} + \frac{2}{d} \tag{4.4.18} $
  1. 切口半徑為（$ r \(）和具有兩種不同直徑（\) D \(和\) d $）的肩軸：
  • 軸向載荷：$ \text{RSG} = \frac{2}{r} \tag{4.4.19} $
  • 彎曲載荷：$ \text{RSG} = \frac{2}{r} + \frac{4}{D + d} \tag{4.4.20} $
  • 扭轉載荷：$ \text{RSG} = \frac{1}{r} + \frac{4}{D + d} \tag{4.4.21} \( 儘管基本上根據經驗確定，但這些關於\)

4.4.2 切口對中、低疲勞壽命的影響

在中、低疲勞壽命區域，在切口處發生較大的局部屈服，切口的敏感度可能要低於在疲勞極限時由$ K_f $預測的敏感度。圖4.29示出了疲勞強度折減係數與疲勞循環次數的一般趨勢。在1000次循環時，疲勞切口靈敏度係數根據經驗定義如下：

\[q'_{1000} = \frac{K'_f - 1}{K_f - 1} \tag{4.4.22} \]

式中：$ K'f \(為在1000次循環時的疲勞強度折減係數；\) K_f \(為在疲勞極限時的疲勞強度折減係數。圖4.30示出了鋼、鋁和鎂等材料\) \(與\)

4.4.3 切口零件疲勞壽命的評估

預測有切口零件疲勞壽命的方法有兩種：一種是用與名義應力對應的疲勞強度乘以折算係數來計算切口應力，並將切口應力計算值輸入到光滑零件的$ S - N \(曲線上，進行疲勞壽命評估。根據\) 10^3 \(次循環時的\) K'_f \(和\) 10^6 \(次循環時的\) K_f \(之間的關係，對疲勞強度折減係數進行調整，並使之與疲勞壽命方案相一致，這個過程需要進行大量的迭代。例如，如果已知一個零件在1000次循環時的疲勞強度折減係數\) K'f \(和\) K_f \(以及疲勞極限，則可以根據下式確定疲勞壽命為\) N \(時的疲勞強度折減係數\) \(，式中\)

#、##操作符，__VA_ARGS__迭代_10

這種方法廣泛用於複雜應力狀態，將在第4.6節中專門討論。
另一種方法是對光滑構件的$ S - N \(曲線極限進行有切口效應修正，由此可以確定任意給定名義應力條件下的疲勞壽命。這種方法較為簡單，並且廣泛用於單向應力狀態。圖4.31(a)和圖4.31(b)分別示出了兩種改進的切口效應\) S - N \(曲線，一種是由海伍德於1962年提出的\)[12]\(，另一種則是由柯林斯於1993年提出的\)[5]\(。根據海伍德的模型，有切口零件的\) S - N \(曲線考慮了在高周和低周疲勞區域切口的特殊效應。根據柯林斯模型，利用一條直線將有切口零件的修正疲勞極限與一次循環上的疲勞強度連接起來，形成有切口零件的\) S - N \(曲線。總之，柯林斯模型具有易於使用的優點，可用於疲勞特性（\) S - N \(曲線）已知的情況。因而，在根據材料的強度極限進行疲勞特性評估時，海伍德模型就成為較好的選擇。 **例4.9** 一個高級合金鋼制軸，經過熱處理硬度達到400BHN，最後採用精磨加工。軸的幾何形狀如圖4.32所示，其尺寸為\) D = 28.0\mathrm{mm}、d = 25.5\mathrm{mm} \(，切口半徑\) r = 1.28\mathrm{mm} \(。分別計算由於彎曲、軸向和扭轉載荷引起的彈性應力集中係數，得到\) K_{t,\text{彎曲}} = 2.26、K_{t,\text{拉伸}} = 2.50 \(和\)

  1. 交變彎曲加載；
  2. 交變軸向加載（假設忽略中間彎曲）；
  3. 交變扭轉載加。
    解：確定有切口鋼軸$ S_e \(和\)

#、##操作符，__VA_ARGS__有限元分析_11

式中，$ S_{1000} \(取決於加載方式，即對於彎曲載荷為\) 0.90S_u \(、對於軸向載荷為\) 0.75S_u \(、對於扭轉載荷為\) 0.72S_u \(。對於布氏硬度為400BHN的鋼，\) S_u = 3.5\mathrm{BHN} = 3.5 \times 400 = 1400\mathrm{MPa} \(。 對於鋼，\) S_u \geq 1400\mathrm{MPa} \(時，\) S_{\text{se}} = 700\mathrm{MPa} $。
以下修正係數適用於所有三種加載方式：

  • 對於99.9%的可靠性，$ C_R = 0.753 $，
  • 輸入鋼在$ S_u = 1400\mathrm{MPa} \(時的磨削表面加工曲線，得到\)
  • 對於彎曲載荷和扭轉載荷，
    #、##操作符，__VA_ARGS__加載_12

\[K_f = 1 + (K_t - 1)q \]

其中，對於彎曲載荷和拉伸載荷：

#、##操作符，__VA_ARGS__迭代_13

因此，

#、##操作符，__VA_ARGS__有限元分析_14

對於扭轉載荷，

#、##操作符，__VA_ARGS__有限元分析_15

式中，根據$ S_u = 1400\mathrm{MPa} \(時鋼的經驗曲線中獲得\)

#、##操作符，__VA_ARGS__加載_16

總之，有切口軸在彎曲載荷、拉伸載荷、扭轉載荷時的疲勞極限為：

#、##操作符，__VA_ARGS__有限元分析_17

當$ N = 1000 $次循環時，在彎曲應力、扭曲應力、拉應力的作用下，有切口軸的疲勞強度為

#、##操作符，__VA_ARGS__有限元分析_18

4.5 平均應力效應

從外加循環應力的角度出發，零件的疲勞損傷與外加應力幅或外加應力範圍強相關，並且還要受到平均應力的影響（次要因素）。在高周疲勞區域，平均應力對零件的疲勞特性具有顯著的影響。平均正應力直接影響微觀裂紋的開啓或閉合狀態。因為微觀裂紋的開啓將加速裂紋擴展，而微觀裂紋的閉合則會延遲裂紋的擴展。對於疲勞強度，平均拉應力是有害的，而平均壓應力卻是有利的。平均剪切應力對微觀裂紋的開啓或閉合狀態沒有影響，毫無疑問，平均剪切應力對裂紋擴展的影響很小。在低周疲勞區域，大量的塑性變形消除了平均應力有利或有害的影響，平均應力對疲勞強度的影響非常小，甚至沒有。
為了補償平均拉應力對高周疲勞強度的影響，格貝爾（Gerber）、古德曼（Goodman）、海（Haigh）和索德伯格（Soderberg）等人提出了完全基於經驗的早期模型\([6,9,11,45]\)。這些經驗的模型可以被繪製成恆定壽命圖。對於實驗疲勞數據，最有用的圖示表示法是在$ S_{\text{max}} - S_{\text{min}} \(或者\) S_a - S_m \(座標系中繪製的恆定壽命圖。如圖4.33所示，可以利用\) S_a \(和\) S_m \(特定值得到的\) S - N \(曲線族，通過試驗的方法來確定這些恆定壽命模型。 1874年，格貝爾提出了一種在\) S_{\text{max}}/S_u - S_{\text{min}}/S_u \(座標系中表示維勒疲勞極限的拋物線法\)[6]$，如圖4.34所示。1899年，古德曼根據橋樑設計的衝擊準則，提出了