高等數學第一章知識點筆記
1.1 函數
- 構成函數的兩個基本要素：定義域和對應法則
- 取整函數 \(y=[x]\) 是分段函數，\([x]\) 表示不超過 \(x\)
- 函數的表示方法主要有：表格法、圖形法、解析法（公式法）
- 函數的有界性是基於定義域討論的，函數的單調性是基於某個區間討論的
- 複合函數應關注內層函數的值域是否包含外層函數的定義域
- 反函數要求唯一的 x 對應唯一的 y（一一對應）
- 單調函數一定有反函數，但有反函數的函數不一定是單調的
- 有反函數的充要條件\(\forall{x_1 \neq x_2 \in D} \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)\)
- 相對於反函數，原來的函數稱為“直接函數”
- \(y=f(x)\) 的反函數可以寫為 \(x=f^{-1}(y)\) 或 \(y = f^{-1}(x)\)
- 在同一直角座標系中，\(y=f(x)\) 和 \(x=f^{-1}(y)\) 圖像重合（直接由y逆向解x所以圖像重合）
- 在同一直角座標系中，\(y=f(x)\) 和 \(y = f^{-1}(x)\) 圖像關於直線 \(y = x\)（反函數的法則應用於x）
（可以 \(y=f(x)=e^x\) - \(y=f(x)\) 和 \(y=f^{-1}(x)\)
- 函數和反函數的複合是恆等映射：\(f^{-1}[f(x)]=x\)，反之同樣：\(f[f^{-1}(x)]=x\)
- \(f(x)=e^x,\; f^{-1}[f(x)]=f^{-1}[e^x]=\ln(e^x)=x\)
- \(f(x)=e^x,\; f[f^{-1}(x)]=f[\ln(x)]=e^{\ln(x)}=x\)
- 基本初等函數：
- 冪函數 \(y=x^\mu,\mu \in \mathbb{R}\)，如 \(y=x,\;y=x^2,\;y=x^3,\;y=\sqrt{x},\;y=\sqrt[3]{x},\;y=\frac{1}{x}\)
- 指數函數 \(y=a^x\;(a>0,a\neq1)\)
- 對數函數 \(y=\log_ax\;(a>0,a\neq1)\)
- 三角函數（正弦餘弦、正切餘切、正割餘割）
- 反三角函數（反正弦反餘弦、反正切反餘切）
- 冪指函數的討論常利用恆等式： \(u(x)^{v(x)}=e^{v(x)\ln u(x)}\)
- 常見的奇函數和偶函數
- 奇：\(\sin(x),\tan(x),\arcsin(x),\arctan(x),\ln\dfrac{1-x}{1+x},\ln(\pm x+\sqrt{1+x^2}),\dfrac{e^x-1}{e^x+1},f(x)-f(-x)\)
- 偶：\(x^2,|x|,\cos(x),f(x)+f(-x)\)
- 一個函數可以表示為一個奇函數和一個偶函數的和 \(f(x)=\dfrac{f(x)-f(-x)}{2}+\dfrac{f(x)+f(-x)}{2}\)
- 奇函數 \(f(x)\) 若在 \(x=0\) 處有定義，則 \(f(0)=0\)
- \(g(x+y)=g(x)+g(y)\)，則 \(g(x)\)
- 奇偶函數運算判定奇偶性
- 奇 + 奇 = 奇
- 偶 + 偶 = 偶
- 奇 * 奇 = 偶（奇 ÷ 奇 = 偶）
- 偶 * 偶 = 偶（偶 ÷ 偶 = 偶）
- 奇 * 偶 = 奇（奇 ÷ 偶 = 奇、偶 ÷ 奇 = 奇）
- 複合函數的奇偶性：（假設複合有意義）
設 \(f(x)\) 是偶函數，\(g(x)\)
- \(f[f(x)],\;f[g(x)],\;g[f(x)]\)
- \(g[g(x)]\)
- 複合函數的週期
如 \(f(x)\) 以 \(T\) 為週期，則 \(f(ax+b)\) 以 \(\dfrac{T}{|a|}\) - \(f(x),g(x)\) 分別以 \(T_1,T_2\) 為週期，則 \(f(x)\pm g(x)\) 的週期為 \(T_1,T_2\)
- 有界函數要求有上界和下界
- 函數的上界或下界不是唯一的
- 無界函數：對任意 \(M>0\)，至少存在一個 \(x_0 \in X\)，使得 \(|f(x_0)|>M\)，則 \(f(x)\) 為 \(X\)
1.2 數列極限
- 數列極限是基於 \(n \to +\infty\)
- 數列有界性：
對於數列 \(\{x_n\}\)，若存在正數 \(M\)，使得對於一切 \(x_n\) 都滿足不等式 \(|x_n| \leq M\)，那麼稱該數列是有界的；若 \(M\) - 根據數列極限的定義（\(\lim_{n \to \infty}x_n=a\)），有：
- \(b<a, \exist N,\text{當} n>N,x_n>b\)
- \(c>a, \exist N,\text{當} n>N,x_n<c\)
- 數列的極限與前有限項無關：\(x_n \to a \Leftrightarrow x_{n+1} \to a \Leftrightarrow x_{n+k} \to a\)
- 定理：\(\lim_{n \to \infty}x_n=a \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty}x_{2k-1}=\lim_{n \to \infty}x_{2k}=a\) ，整體可推局部，但局部不一定可推整體
- 推論： 若 \(\lim_{n \to \infty}x_{2k-1}\neq\lim_{n \to \infty}x_{2k}\)，則 \(\lim_{n \to \infty}x\)
- 結論： 若 \(\lim_{n\to \infty}x_n=a\)，則 \(\lim_{n\to\infty}|x_n|=|a|\)，但反之不成立
- 數列有極限即數列收斂，數列無極限即數列發散
- 收斂必定有界，有界未必收斂
- 發散未必無界，無界必定發散
- 若 \(f(x)>g(x)\)，且 \(\lim f(x)=A,\lim g(x)=B\)，則 \(A \geq B\)
- 常用數列極限結果：
- \(\lim_{n \to \infty}q^n = 0 \;,(|q|<1)\)
- \(\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{n} = 1\)
1.3 函數極限
(1) 自變量趨於無窮大時函數的極限
- 定理：\(\lim_{x \to \infty}f(x)=A \Longleftrightarrow \lim_{x \to -\infty}f(x)=\lim_{x \to +\infty}f(x)=A\)
(2) 自變量趨於有限值時函數的極限
- \(x \to x_0,\text{但} x \neq x_0\)，關注例 \(\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin(x\sin(\frac{1}{x}))}{x\sin\frac{1}{x}}\)
- \(\lim_{x \to x_0}f(x)\) 與 \(f(x_0)\) 無關，如 \(\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1\)
- 左極限：\(\lim_{x \to x_0^-}f(x)=f(x_0^-)=f(x_0-0)\)
- 右極限：\(\lim_{x \to x_0^+}f(x)=f(x_0^+)=f(x_0+0)\)
- 極限存在的充分必要條件：\(\lim_{x \to x_0}f(x)=A \Longleftrightarrow \lim_{x \to x_0^-}f(x)=\lim_{x \to x_0^+}f(x)=A\)
- 需要分左、右極限求極限的問題（主要有三種）
(1) 分段函數在分界點處的極限（在該分界點兩側函數表達式不同）
(2) \(e^{\infty}\) 型極限（如 \(\lim_{x \to 0}e^{\frac{1}{x}},\lim_{x \to \infty}e^x,\lim_{x \to \infty}e^{-x}\)
(3) \(\arctan \infty\) 型極限（如 \(\lim_{x \to 0}\arctan\frac{1}{x},\lim_{x \to \infty}\arctan x\) - 函數極限和數列極限的關係
若 \(\lim_{x\to x_0}f(x)=A\)，則對任意數列 \(\{x_n\}\)，\(\lim_{n\to \infty}x_n=x_0\)，且 \(x_n\neq x_0\)，都有 \(\lim_{n\to\infty}f(x_n)=A\) - 極限的性質--有界性：
- 若數列 \(\{x_n\}\) 收斂（有極限），那麼數列 \(\{x_n\}\)
- 若 \(\lim_{x\to x_0} f(x)\) 存在，則 \(f(x)\) 在 \(x_0\)
- 極限的性質--保號性：
數列極限 \(\lim_{n\to \infty}x_n=A\)
(1) （極限保數列項）若 \(A>0\)，則存在 \(N>0\)，當 \(n>N\) 時，\(x_n>0\)（注意是嚴格不等號 \(>\) 或 \(<\)）
（極限值大於零，説明 A 存在一個鄰域是大於零的，而無論 A 鄰域多小，總存在一個 N，當 n 大於 N 時會落在 A 的鄰域內，因此與 A 同號）
(2) 若存在 \(N>0\)，當 \(n>N\) 時，\(x_n\geq0\)，則 \(A\geq 0\)（注意是非嚴格不等號 \(\geq\) 或 \(\leq\)）
函數極限 \(\lim_{x\to x_0}f(x)=A\)
(1) 若 \(A>0\)，則存在 \(\delta>0\)，當 \(x\in \mathring{U}(x_0,\delta)\) 時，\(f(x)>0\)（注意是嚴格不等號 \(>\) 或 \(<\)）
(2) 若存在 \(\delta >0\)，當 \(x\in \mathring{U}(x_0,\delta)\) 時，\(f(x)\geq0\)，則 \(A\geq0\)（注意是非嚴格不等號 \(\geq\) 或 \(\leq\)）
（兩個 (2) 中第一個非嚴格不等號替換為嚴格不等號，也是成立的）
1.4 無窮小量與無窮大量
- 極限值與無窮小的關係（\(f(x)\) 具有極限 \(A\)）：
\(\lim{f(x)}=A \Leftrightarrow f(x)=A+\alpha(x)\)，其中 \(\lim{\alpha(x)=0}\) - 在同一極限過程中，若 \(f(x)\) 是無窮大，則 \(\dfrac{1}{f(x)}\) 是無窮小；反之若 \(f(x)\) 是無窮小，且 \(f(x)\neq 0\)，則 \(\dfrac{1}{f(x)}\)
- 函數極限為無窮大時極限是不存在的
- 常用無窮大量的比較：
- 當 \(x \to +\infty\) 時：\(\ln^\alpha x \ll x^\beta \ll a^x\)，其中 \(\alpha>0,\beta>0,a>1\)
- 當 \(n\to \infty\) 時：\(\ln^\alpha n \ll n^\beta \ll a^n \ll n! \ll n^n\)，其中 \(\alpha>0,\beta>0,a>1\)
- 無窮大量與無界變量的關係：（以數列為例）
(1) 數列 \(\{x_n\}\) 是無窮大量：\(\forall M>0, \exist N>0\)，當 \(n>N\) 時，恆有 \(|x_n|>M\)
(2) 數列 \(\{x_n\}\) 是無界變量：\(\forall M>0, \exist N>0\)，使 \(|x_{N}|>M\)
無窮大量必為無界變量，而無界變量不一定是無窮大量
1.5 極限運算法則
- 關於無窮小的運算（性質）：
- 有限個無窮小的和為無窮小
- 有限個無窮小的積為無窮小
- 無窮小量與有界變量的積為無窮小
- 關於無窮大的運算（性質）：
- 有限個無窮大量的積仍為無窮大量
- 無窮大量與有界變量的積為無窮大量
- 無窮大量與非零常數乘積仍為無窮大量
- 極限的四則元素法則：要求拆開計算的極限是存在的
- 極限運算法則 - 商法則的特殊情況：（注：商法則要求函數分母極限存在且不為零）
- \(x \to x_0\)，處理 \(\dfrac{0}{0}\) 型極限，常用的思想為“消去分母零因子”
- \(x \to \infty\)，處理 \(\dfrac{\infty}{\infty}\) 型極限，常用思想為“消去分母無窮因子”
- \(\lim_{x \to \infty}{\dfrac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0}{b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_1x+b_0}} = \begin{cases}\infty \;,n>m \\ \dfrac{a_n}{b_m}\;,n=m \\ 0\;,n<m\end{cases}\)
- \(\lim f(x)=A \neq 0\)，則 \(\lim f(x)g(x)=A\lim g(x)\) （無論剩餘項，極限的非零因子的極限可先求取）
- （注意，這個方法主要適用用於作為乘/商因子的項，和差項不一定能用）
- \(\lim\dfrac{f(x)}{g(x)}\) 存在，且 \(\lim g(x)=0\)，則 \(\lim f(x)=0\)
- 常用於求極限式分子 \(f(x)\)，通常可以和洛必達結合分步求出各個變量（相關的題目通常還可以用泰勒公式求解，如條件是高階、同階無窮小等）
- 還可能作隱含題目條件等
- \(\lim\dfrac{f(x)}{g(x)}=A\neq 0\)，且 \(\lim f(x)=0\)，則 \(\lim g(x)=0\)
- 若 \(f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n\)，則 \(\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\)，\(\lim_{x\to \infty}f(x)=\infty\)
- \(\lim_{x\to0}\dfrac{a^x-1}{x}=\ln a\) （\(a^x-1 \sim x\ln a\)）
- 求冪指函數 \(f(x)^{g(x)}\)
法1：利用恆等式 \(f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}\)
法2：若為 \(1^\infty\)
法3：若函數連續，且 \(\lim f(x)=A>0,\lim g(x)=B\)，則 \(\lim f(x)^{g(x)}=A^B\)
1.6 極限存在準則 & 兩個重要極限
- 準則1：夾逼準則：
若函數 \(f(x),g(x),h(x)\)
① \(g(x)\leq f(x)\leq h(x)\)
② \(\lim_{x\to x_0} g(x)=\lim_{x\to x_0}h(x)=A\)
則 \(\lim_{x\to x_0}f(x)=A\) - \(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+\cdots+a_m^n}=\max\{a_i\},\;(a_i>0)\)
- 準則2：單調有界數列必有極限
- 兩個重要極限
第一重要極限：\(\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin{x}}{x} =1\) （推廣：\(\lim\dfrac{\sin{\alpha}}{\alpha} =1\)，\(\alpha\)
第二重要極限：\(\lim_{x \to \infty}(1+\frac{1}{x})^x = e\) 注意：式中1+後面的部分與括號外的指數的乘積為 1
（推廣：\(\lim(1+\alpha)^{\frac{1}{\alpha}} =e\)，\(\alpha\) 為無窮小量，切 "1" 是嚴格的數值 1，不能用某個項的極限值代替） - 第一重要極限是 \(\dfrac{0}{0}\) 型，第二重要極限是 \(1^\infty\)
- \(\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin{ax}}{x} =a\) （\(a\)
- \(\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin{ax}}{\sin{bx}} =\dfrac{a}{b}\)（\(a,b\) 為常數，且 \(b \neq 0\)）
- \(\lim_{x \to \infty}(1-\frac{1}{x})^x = \dfrac{1}{e}\)
- \(\lim_{x \to \infty}(1+\frac{a}{x})^{bx} = e^{ab}\)
- \(\lim_{x \to \infty}(1+\frac{a}{x})^{bx+c} = e^{ab}\)
- \(1^\infty\) 型極限常用結論：(from 武鍾祥高數基礎課P14)
對於 \(\lim[1+\alpha(x)]^{\beta(x)}\)，若 \(\lim\alpha(x)=0,\lim\beta(x)=\infty\)，且 \(\lim\alpha(x)\beta(x)=A\)
則 \(\lim(1+\alpha(x))^{\beta(x)} = e^A\)
做題步驟：
① 寫標準形式：\(\text{原} = \lim[1+\alpha(x)]^{\beta(x)}\)
② 求極限： \(\lim\alpha(x)\beta(x)=A\)
③ 寫結果：\(\text{原}=e^A\)
（注意與等價無窮小類似形式的結論區分）
1.7 無窮小比較
- \(\beta\) 是比 \(\alpha\) 高階的無窮小説明 \(\beta\) 比 \(\alpha\) 趨向零的速度更快
- 即 \(\lim\dfrac{\beta(x)}{\alpha(x)}=0\)，且 \(\beta(x)\) 中只能出現比 \(\alpha(x)\)
- \(o(x)\) 表示比 \(x\) 高階的無窮小，則有如 \(x\cdot o(x)=o(x^2)\)
- \(\beta\) 和 \(\alpha\) 是同階無窮小説明 \(\beta\) 和 \(\alpha\) 趨向零的速度不相上下
- 即 \(\lim\dfrac{\beta(x)}{\alpha(x)}=c\neq0\)，且 \(\beta(x)\) 和 \(\alpha(x)\)，而其他高階的項更快趨向於無窮小，對比值結果（極限結果）無影響
- 等價無窮小是同階無窮小的特殊情形
- 求兩個無窮小之比的極限時，分子和分母都（分別）可用等價無窮小代替
- 設 \(f_1(x)\sim f_2(x)\)，則如下等價替換也成立：\(\lim f_1(x)h(x)=\lim f_2(x)h(x)\)
- 注意：如下無窮小等價替換不一定成立
假設 \(f(x)\sim F(x),\;g(x)\sim G(x),\;h(x)\sim H(x)\)
極限分式中，分子由各項相加時，分子各相加的項不可直接進行等價無窮小替換
\(\lim\dfrac{f(x)\pm g(x)}{h(x)}=\lim(\dfrac{f(x)}{h(x)}\pm\dfrac{g(x)}{h(x)})=\lim\dfrac{f(x)}{h(x)}\pm\lim\dfrac{f(x)}{h(x)}\)
（同理對於“分母由各項相加”、“分子分母均由各項相加”的情況，均不一定能對各“加項”進行等價無窮小替換） - 極限加減運算中的等價無窮小替換要求：替換後的誤差項不會相互抵消或主導極限
- 誤差項指等價無窮小充要條件中的高階項，即 \(\beta=\alpha + o(\alpha)\) 中的 \(o(\alpha)\)
- \(\beta\) 是 \(\alpha\) 等價無窮小的充分必要條件為 \(\beta=\alpha + o(\alpha)\)，其中 \(o(\alpha)\) 是比 \(\alpha\)
- 等價無窮小結論：（\(x \to 0\)）（\(x\) 可代換為無窮小量 \(\alpha(x)\)）
- \(\sqrt[n]{1+x}-1 \sim \dfrac{1}{n}x\) （\(\sqrt[n]{1-x}-1 \sim -\dfrac{1}{n}x\)），證明見書P54
- \((1+x)^a-1 \sim ax\)
- 若 \(\alpha(x) \to 0,\alpha(x)\beta(x)\to 0\)，則 \((1+\alpha(x))^{\beta(x)}-1 \sim \alpha(x)\beta(x)\)
- \(x \sim \sin{x} \sim \tan{x} \sim \arcsin{x} \sim \arctan{x} \sim \ln(x+1) \sim e^x-1\)
- \(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x} \sim x\)
- \(1-\cos x \sim \dfrac{1}{2}x^2\)
- \(x-\sin x \sim \dfrac{1}{6}x^3\)
- \(x-\arcsin x \sim -\dfrac{1}{6}x^3\)
- \(x-\tan x \sim -\dfrac{1}{3}x^3\)
- \(x-\arctan x \sim \dfrac{1}{3}x^3\)
- \(a^x-1 \sim x\ln{a}\)
- 由 \(e^x-1 \sim x\)
- \(x-\ln(1+x) \sim \dfrac{1}{2}x^2\)
1.8 函數的連續性與間斷點
- 連續的幾何含義可以理解為“一筆畫”（但不一定光滑）
- 連續性求極限：
若 \(f(x)\) 在 \(x=x_0\) 連續，則 \(\lim_{x \to x_0}{f(x)} = f(x_0)\)
若 \(f(x),\varphi(x)\) 為連續函數，則 \(\lim_{x\to x_0}f[\varphi(x)]=f[\lim_{x\to x_0}\varphi(x)]\)
若 \(\lim f(x)=A>0,\lim g(x)=B\)，則 \(\lim f(x)^{g(x)}=[\lim f(x)]^{\lim g(x)}=A^B\) - \(f(x)\) 在 \(x_0\) 處連續的條件：
(1) \(f(x)\) 在 \(x_0\)
(2) \(\lim_{x \to x_0}{f(x)}\)
(3) \(\lim_{x \to x_0}{f(x)} = f(x_0)\) - 點 \(x_0\) 為函數 \(f(x)\) 間斷點（不連續點）的條件：
(1) 在 \(x=x_0\)
(2) 在 \(x=x_0\) 處有定義，但 \(\lim_{x \to x_0}f(x)\)
(3) 在 \(x=x_0\) 處有定義，且 \(\lim_{x \to x_0}f(x)\) 存在，但 \(\lim_{x \to x_0}{f(x)} \neq f(x_0)\) - 間斷點分類：
- 第一類間斷點：左右極限都存在
① 可去間斷點：左右極限存在且相等
② 跳躍間斷點：左右極限存在但不相等 - 第二類間斷點：左右極限至少有一個不存在
① 振盪間斷點
② 無窮間斷點
③ 其他
- 初等函數連續性：
- 基本初等函數在其定義域內是連續的
- 初等函數在其定義區間內是連續的
- 連續函數的運算
- 四則運算： 在某區間（或某點）連續的函數經過“加、減、乘、除”後仍然為連續函數（或仍在該點連續），其中“相除”時要求分母函數非零
- 複合函數： 懶得寫了
1.9 閉區間上連續函數的性質
- 最值定理：\(f(x)\) 在閉區間 \([a,b]\) 上連續，則 \(f(x)\) 在 \([a,b]\)
- 有界性定理：\(f(x)\) 在閉區間 \([a,b]\) 上連續，則 \(f(x)\) 在 \([a,b]\)
- 介值定理：\(f(x)\) 在閉區間 \([a,b]\) 上連續，且 \(f(a)\neq f(b)\)，則對於任意介於 \(f(a)\) 與 \(f(b)\) 之間的數 \(C\)，至少存在一點 \(\xi\in(a,b)\)，使 \(f(\xi)=C\)
- 推論：\(f(x)\) 在閉區間 \([a,b]\) 上連續，則 \(f(x)\) 的值域是閉區間 \([m,M]\)，其中 \(m\) 和 \(M\) 分別是 \(f(x)\) 在 \([a,b]\)
- （介值定理+最值定理）推論：\(f(x)\) 在閉區間 \([a,b]\) 上連續，\(m\) 和 \(M\) 分別是 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上的最小值和最大值，則對於任意介於 \(m\) 與 \(M\) 之間的數 \(C\)，至少存在一點 \(\xi\in(a,b)\)，使 \(f(\xi)=C\)
- 零點定理：\(f(x)\) 在閉區間 \([a,b]\) 上連續，且 \(f(a)\cdot f(b)<0\)，則至少存在一點 \(\xi\in(a,b)\) 使 \(f(\xi)=0\)
- 零點定理常用於“證明方程根的存在性”，即“零點問題”
- 一些等式的證明也可以通過構造輔助函數來將問題轉換為上述兩個問題
- 常用的輔助函數構造方法有：原函數法、微分方程法
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