ASEF相關濾波器：

Average of Synthetic Exact Filters 
David S. Bolme, Bruce A. Draper, J. Ross Beveridge 
CVPR, 2009

相關濾波器可以用於物體定位。相關濾波器算法的思想是學習一個濾波器hh，然後和圖像fifi進行卷積操作

$$
f(n) =
    \begin{cases}
    n/2,  & \text{if $n$ is even} \\
    3n+1, & \text{if $n$ is odd}
    \end{cases}
$$

\( gi=fi∗hgi=fi∗h \)

得到相關信息圖，圖中值最大的點就是物體的位置。

訓練數據中要提供圖片對應的相關圖gigi，怎麼生成呢？最粗暴的辦法就是把目標的中心位置設成1，其他為0。本文中作者將gg看作是以目標位置(xi,yi)(xi,yi)為中心的二維高斯分佈： 

gi(x,y)=e(x−xi)2+(y−yi)2σ2gi(x,y)=e(x−xi)2+(y−yi)2σ2

那麼現在有了一組圖片fifi及相關圖gigi，怎麼學習hh呢？

我們知道，空間上的卷積操作經過傅里葉變換在頻域上就變成按元素相乘的操作（關於卷積）。所以對上式左右兩邊進行離散傅里葉變換DFT： 

G(ω,ν)=F(ω,ν)⋅H∗(ω,ν)G(ω,ν)=F(ω,ν)⋅H∗(ω,ν)

這裏不知道為什麼是H的共軛??????? 
所以對每幅圖片就有： 

H∗i(ω,ν)=Gi(ω,ν)Fi(ω,ν)Hi∗(ω,ν)=Gi(ω,ν)Fi(ω,ν)

這裏的除也是按元素相除。 
ASEF最終得到的濾波器為 

H∗(ω,ν)=1N∑i=1NH∗i(ω,ν)=1N∑iGiFi(1)(1)H∗(ω,ν)=1N∑i=1NHi∗(ω,ν)=1N∑iGiFi

h(x,y)=1N∑i=1Nhi(x,y)h(x,y)=1N∑i=1Nhi(x,y)

MOSSE相關濾波器：

Visual objecting tracking using adaptive correlation filters 
David S. Bolme, J. Ross Beveridge, Bruce A. Draper, Yui Man Lui 
CVPR, 2010

這篇文章也出自ASEF的作者之手。本文作者針對的問題是目標跟蹤，並且構造濾波器的方法和上文有所差別。 
對一幅圖片，仍然有： 

H∗i(ω,ν)=Gi(ω,ν)Fi(ω,ν)Hi∗(ω,ν)=Gi(ω,ν)Fi(ω,ν)

但是最終的濾波器不是採用平均，而是通過最小化誤差平方和： 

H=minH∑i|Fi⋅H∗−Gi|2H=minH∑i|Fi⋅H∗−Gi|2

怎麼求解這個最優化問題？HH的每個元素都是獨立的，所以可以單獨求解： 

Hων=minHων∑i|Fiων⋅H∗ων−Giων|2Hων=minHων∑i|Fiων⋅Hων∗−Giων|2

這個誤差函數是凸函數，所以有一個最小值，那麼可以令： 

∂∂H∗ων∑i|Fiων⋅H∗ων−Giων|2=0∂∂Hων∗∑i|Fiων⋅Hων∗−Giων|2=0

於是： 

∂∂H∗ων∑i(Fiων⋅H∗ων−Giων)(Fiων⋅H∗ων−Giων)∗=0∂∂Hων∗∑i(Fiων⋅Hων∗−Giων)(Fiων⋅Hων∗−Giων)∗=0

展開後得到： 

∂∂H∗ων∑iFiωνF∗iωνHωνH∗ων−FiωνG∗iωνH∗ων−F∗iωνGiωνHων+GiωνG∗iων=0∂∂Hων∗∑iFiωνFiων∗HωνHων∗−FiωνGiων∗Hων∗−Fiων∗GiωνHων+GiωνGiων∗=0

∑iFiωνF∗iωνHων−FiωνG∗iων=0∑iFiωνFiων∗Hων−FiωνGiων∗=0

Hων=∑iFiωνG∗iων∑iFiωνF∗iωνHων=∑iFiωνGiων∗∑iFiωνFiων∗

於是有 

H=∑iFi⋅G∗i∑iFi⋅F∗iH=∑iFi⋅Gi∗∑iFi⋅Fi∗

H∗=∑iGi⋅F∗i∑iFi⋅F∗i(2)(2)H∗=∑iGi⋅Fi∗∑iFi⋅Fi∗

上式用於在處理一個視頻時對濾波器進行初始化，具體做法是對首幀圖片，對跟蹤窗口做仿射變換得到8個圖片fifi，並得到對應的相關圖片gigi。而在跟蹤的時候，需要不斷根據當前幀來調整濾波器，即在線更新： 

H∗i=AiBi(3)(3)Hi∗=AiBi

Ai=ηGi⋅F∗i+(1−η)Ai−1Ai=ηGi⋅Fi∗+(1−η)Ai−1

Bi=ηFi⋅F∗i+(1−η)Bi−1Bi=ηFi⋅Fi∗+(1−η)Bi−1

本文取η=0.125η=0.125。訓練和測試過程都要進行濾波器初始化和在線更新。

那麼ASEF是否可以用在跟蹤問題上呢？作者告訴你是可以滴。不同之處在於初始化使用的是公式(1)，並且在線更新使用的是下面的公式： 

H∗i=ηGiFi+(1−η)H∗i−1(4)