人工智能之數據分析 numpy
第九章 數組運算
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目錄
- 人工智能之數據分析 numpy
- 前言
- 一、基礎算術運算（Element-wise Arithmetic）
- 1. 基本運算符（支持廣播）
- 2. 廣播（Broadcasting）示例
- 二、比較運算（Comparison）
- 多數組比較
- 三、邏輯運算（Logical Operations）
- 四、位運算（Bitwise Operations）
- 五、通用函數（ufunc: Universal Functions）
- 1. 常見數學 ufunc
- 2. 累積與聚合 ufunc
- 3. 自定義 ufunc（高級）
- 六、矩陣與線性代數（numpy.linalg）
- Ⅰ. 矩陣乘法
- np.matrix：歷史遺留（已棄用）
- 1. 創建方式
- 2. 特點
- 3. ❌ 為什麼被棄用？
- ✅ 推薦方式：使用二維 ndarray
- 1. 創建矩陣（本質是 2D array）
- 2. 矩陣運算（使用標準 NumPy 函數和運算符）
- 示例：
- 常用矩陣操作彙總（基於 ndarray）
- 1. 基本屬性
- 2. 特殊矩陣構造
- 3. 矩陣分解（numpy.linalg）
- 4. 範數與條件數
- 廣播與矩陣運算的注意事項
- 1. 矩陣乘法維度必須匹配
- 2. 向量與矩陣相乘
- 實際應用示例
- 📌 示例 1：線性迴歸（最小二乘解）
- 📌 示例 2：圖像仿射變換（旋轉矩陣）
- 總結：矩陣操作最佳實踐
- Ⅱ. 常用線性代數函數（np.linalg）
- 示例：解線性方程組
- 示例：計算矩陣的 Frobenius 範數
- 七、其他重要運算
- 1. 聚合函數（Reduction）
- 2. 四捨五入
- 八、小結：運算類型速查表
- 九、注意事項
- 後續
- 資料關注
前言
NumPy 不僅提供了高效的多維數組（ndarray）結構，還內置了豐富的數組運算功能，包括基礎算術、比較邏輯、位運算、通用函數（ufunc）、矩陣與線性代數等。這些運算是向量化的，無需顯式循環，性能遠超純 Python。
下面系統講解 NumPy 的各類數組運算。
一、基礎算術運算（Element-wise Arithmetic）
NumPy 支持對數組進行逐元素（element-wise） 的四則運算和冪運算。
1. 基本運算符（支持廣播）
import numpy as np
a = np.array([1, 2, 3])
b = np.array([4, 5, 6])
print(a + b) # [5 7 9]
print(a - b) # [-3 -3 -3]
print(a * b) # [4 10 18]
print(a / b) # [0.25 0.4 0.5 ]
print(a ** 2) # [1 4 9]
print(a % 2) # [1 0 1]2. 廣播（Broadcasting）示例
# 標量與數組運算
print(a + 10) # [11 12 13]
# 不同形狀但兼容的數組
A = np.array([[1, 2, 3],
[4, 5, 6]]) # shape (2,3)
B = np.array([10, 20, 30]) # shape (3,)
print(A + B)
# [[11 22 33]
# [14 25 36]] ← B 被廣播到每一行✅ 廣播規則：從後往前對齊維度，缺失或為1的維度可擴展。
二、比較運算（Comparison）
返回布爾數組，常用於篩選。
a = np.array([1, 2, 3, 4])
b = np.array([1, 3, 2, 4])
print(a == b) # [ True False False True]
print(a != b) # [False True True False]
print(a > 2) # [False False True True]
print(np.equal(a, b)) # 等價於 a == b多數組比較
# 找出三個數組中相等的位置
c = np.array([1, 3, 3, 4])
mask = (a == b) & (b == c)
print(mask) # [ True False True True]三、邏輯運算（Logical Operations）
適用於布爾數組。
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運算
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函數
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説明
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與
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元素級 AND
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或
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元素級 OR
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非
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元素級 NOT
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異或
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XOR
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x = np.array([True, False, True])
y = np.array([True, True, False])
print(x & y) # [ True False False]
print(np.logical_and(x, y)) # 同上
print(~x) # [False True False]⚠️ 注意：對非布爾數組使用
&,|會執行位運算（見下文），而非邏輯運算！
四、位運算（Bitwise Operations）
對整數類型的二進制位進行操作。
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運算符
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函數
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説明
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按位與
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按位或
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按位異或
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按位取反
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左移
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右移
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a = np.array([1, 2, 3]) # 二進制: 01, 10, 11
b = np.array([3, 2, 1]) # 11, 10, 01
print(a & b) # [1 2 1] → 01&11=01, 10&10=10, 11&01=01
print(a << 1) # [2 4 6] → 左移1位（×2）💡 位運算常用於掩碼操作、圖像處理、嵌入式系統等。
五、通用函數（ufunc: Universal Functions）
ufunc 是 NumPy 的核心，提供向量化、快速、元素級的數學函數。
1. 常見數學 ufunc
x = np.array([0, np.pi/2, np.pi])
print(np.sin(x)) # [0.0, 1.0, ~0.0]
print(np.cos(x)) # [1.0, ~0.0, -1.0]
print(np.exp(x)) # [1.0, ~4.81, ~23.14]
print(np.log([1, np.e, np.e**2])) # [0. 1. 2.]
print(np.sqrt([4, 9, 16])) # [2. 3. 4.]2. 累積與聚合 ufunc
a = np.array([1, 2, 3, 4])
print(np.add.reduce(a)) # 10（求和）
print(np.multiply.reduce(a))# 24（連乘）
print(np.add.accumulate(a)) # [1 3 6 10]（前綴和）3. 自定義 ufunc（高級）
# 將普通函數轉為 ufunc
def my_func(x, y):
return x**2 + y**2
my_ufunc = np.frompyfunc(my_func, 2, 1)
result = my_ufunc([1, 2], [3, 4]) # 返回 object 數組⚠️
frompyfunc性能較低，僅用於無法向量化的場景。
六、矩陣與線性代數（numpy.linalg）
Ⅰ. 矩陣乘法
在 NumPy 中，矩陣（Matrix） 有兩種主要表示方式：
- 普通的二維
ndarray（推薦方式） - 已棄用的
np.matrix類
下面將詳細講解這兩種方式，並重點説明為什麼現代 NumPy 推薦使用 ndarray 而非 matrix，以及如何高效進行矩陣運算。
np.matrix：歷史遺留（已棄用）
1. 創建方式
import numpy as np
# 從字符串、列表或 ndarray 創建
M = np.matrix([[1, 2], [3, 4]])
N = np.matrix('1 2; 3 4') # 字符串形式
print(M)
# [[1 2]
# [3 4]]2. 特點
- 始終是二維的（即使你試圖 reshape）
*表示矩陣乘法（不是逐元素相乘）- 有
.I（逆）、.T（轉置）等屬性
A = np.matrix([[1, 2], [3, 4]])
B = np.matrix([[5, 6], [7, 8]])
print(A * B) # 矩陣乘法！
# [[19 22]
# [43 50]]
print(A.I) # 逆矩陣
print(A.T) # 轉置3. ❌ 為什麼被棄用？
- 行為不一致：與
ndarray混用時容易出錯 - 維度限制：無法表示三維及以上張量（深度學習必需）
- 社區共識：NumPy 官方自 1.15 版本起標記為 deprecated，未來可能移除
📌 官方建議：不要使用
np.matrix，改用ndarray+@運算符。
✅ 推薦方式：使用二維 ndarray 表示矩陣
1. 創建矩陣（本質是 2D array）
A = np.array([[1, 2],
[3, 4]]) # shape: (2, 2)
B = np.arange(1, 5).reshape(2, 2)
# [[1 2]
# [3 4]]2. 矩陣運算（使用標準 NumPy 函數和運算符）
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操作
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推薦寫法
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説明
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矩陣乘法 |
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Python 3.5+ 支持 |
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逐元素乘法 |
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默認行為
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轉置 |
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逆矩陣 |
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行列式 |
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解方程 Ax=b |
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示例：
A = np.array([[1, 2],
[3, 4]], dtype=float)
B = np.array([[5, 6],
[7, 8]], dtype=float)
# 矩陣乘法
C = A @ B
print("A @ B =\n", C)
# 轉置
print("A.T =\n", A.T)
# 逆矩陣
A_inv = np.linalg.inv(A)
print("A⁻¹ =\n", A_inv)
print("A @ A⁻¹ ≈ I:\n", A @ A_inv) # 應接近單位矩陣
# 解線性方程組
b = np.array([5, 11])
x = np.linalg.solve(A, b)
print("Solution x =", x) # [1. 2.] → 1*1+2*2=5, 3*1+4*2=11輸出：
A @ B =
[[19. 22.]
[43. 50.]]
A.T =
[[1. 3.]
[2. 4.]]
A⁻¹ =
[[-2. 1. ]
[ 1.5 -0.5]]
A @ A⁻¹ ≈ I:
[[1.0000000e+00 0.0000000e+00]
[8.8817842e-16 1.0000000e+00]]
Solution x = [1. 2.]常用矩陣操作彙總（基於 ndarray）
1. 基本屬性
M = np.array([[1, 2, 3],
[4, 5, 6]])
print(M.ndim) # 2
print(M.shape) # (2, 3)
print(M.size) # 62. 特殊矩陣構造
# 零矩陣
Z = np.zeros((3, 3))
# 單位矩陣
I = np.eye(3) # 或 np.identity(3)
# 對角矩陣
D = np.diag([1, 2, 3])
# 隨機矩陣
R = np.random.rand(2, 2)3. 矩陣分解（numpy.linalg）
A = np.array([[1, 2], [3, 4]], dtype=float)
# 特徵值分解
eigenvals, eigenvecs = np.linalg.eig(A)
# 奇異值分解 (SVD)
U, s, Vt = np.linalg.svd(A)
# QR 分解
Q, R = np.linalg.qr(A)4. 範數與條件數
# L2 範數（譜範數）
norm_A = np.linalg.norm(A, 2)
# Frobenius 範數
fro_norm = np.linalg.norm(A, 'fro')
# 條件數
cond_num = np.linalg.cond(A)廣播與矩陣運算的注意事項
1. 矩陣乘法維度必須匹配
A = np.random.rand(3, 4)
B = np.random.rand(4, 2)
C = A @ B # ✅ (3,4) @ (4,2) → (3,2)
# D = A @ A # ❌ (3,4) @ (3,4) → 維度不匹配！2. 向量與矩陣相乘
A = np.array([[1, 2],
[3, 4]])
v = np.array([1, 2]) # shape: (2,) —— 一維向量
# 左乘：v^T A → 結果是行向量（一維）
result1 = v @ A # [7, 10]
# 右乘：A v → 結果是列向量（一維）
result2 = A @ v # [5, 11]
# 若需顯式列向量，用 reshape
v_col = v.reshape(-1, 1) # shape: (2, 1)
Av = A @ v_col # shape: (2, 1)💡 NumPy 中的一維數組在矩陣乘法中自動視為行或列向量，非常靈活。
實際應用示例
📌 示例 1：線性迴歸（最小二乘解）
# 數據：X (n_samples, n_features), y (n_samples,)
X = np.array([[1, 1],
[1, 2],
[1, 3]]) # 添加偏置項
y = np.array([2, 3, 4])
# 正規方程：w = (X^T X)^{-1} X^T y
XTX_inv = np.linalg.inv(X.T @ X)
w = XTX_inv @ X.T @ y
print("Weights:", w) # [1. 1.] → y = 1 + 1*x📌 示例 2：圖像仿射變換（旋轉矩陣）
theta = np.pi / 4 # 45度
R = np.array([[np.cos(theta), -np.sin(theta)],
[np.sin(theta), np.cos(theta)]]) # 旋轉矩陣
point = np.array([1, 0]) # x軸上的點
rotated = R @ point
print("Rotated point:", rotated) # [0.707, 0.707]總結：矩陣操作最佳實踐
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項目
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推薦做法
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數據結構 |
使用 |
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矩陣乘法 |
用 |
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轉置 |
用 |
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逆矩陣 |
用 |
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解方程 |
用 |
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高維張量 |
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🔑 核心理念：統一使用
ndarray，通過@和linalg模塊完成所有矩陣運算，代碼更清晰、兼容性更好、性能更優。
Ⅱ. 常用線性代數函數（np.linalg）
NumPy 通過 np.dot 和 numpy.linalg 模塊支持線性代數運算。
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函數
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説明
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矩陣求逆
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行列式
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特徵值與特徵向量
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解線性方程組 Ax = b
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向量/矩陣範數（默認 L2）
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奇異值分解
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示例：解線性方程組
# 2x + y = 5
# x + 3y = 10
A = np.array([[2, 1],
[1, 3]])
b = np.array([5, 10])
x = np.linalg.solve(A, b)
print(x) # [1. 3.] → x=1, y=3示例：計算矩陣的 Frobenius 範數
norm = np.linalg.norm(A, 'fro') # 或默認 ord=None七、其他重要運算
1. 聚合函數（Reduction）
arr = np.array([[1, 2, 3],
[4, 5, 6]])
print(arr.sum()) # 21
print(arr.sum(axis=0)) # [5 7 9]（按列求和）
print(arr.mean(axis=1)) # [2. 5.]（每行均值）
print(np.std(arr)) # 標準差
print(np.max(arr)) # 最大值2. 四捨五入
x = np.array([1.234, 2.567, 3.891])
print(np.round(x, 1)) # [1.2 2.6 3.9]
print(np.floor(x)) # [1. 2. 3.]
print(np.ceil(x)) # [2. 3. 4.]八、小結：運算類型速查表
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類型
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示例函數/運算符
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説明
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算術
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逐元素運算，支持廣播
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比較
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返回布爾數組
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邏輯
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邏輯與/或/非
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位運算
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二進制位操作
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ufunc
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向量化數學函數
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矩陣乘法
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線性代數乘法
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線性代數
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高級矩陣運算
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聚合
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沿軸歸約
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九、注意事項
- 區分
*與@：
A * B：逐元素相乘A @ B：矩陣乘法
- 廣播陷阱：
a = np.array([1, 2])
b = np.array([[1], [2]])
print(a + b) # shape (2,2) —— 小心意外廣播！- 整數溢出：
x = np.array([200], dtype=np.uint8)
print(x * 2) # 144（200*2=400 → 溢出迴繞）- 除零警告：
np.seterr(divide='ignore', invalid='ignore') # 控制警告行為