使用格子玻爾茲曼方法LBM模擬三維多孔介質流動D3Q19。 matlab

在計算流體力學領域，格子玻爾茲曼方法（Lattice Boltzmann Method, LBM）以其獨特的優勢被廣泛應用於複雜流動現象的模擬，尤其是三維多孔介質流動。今天咱們就來聊聊如何用Matlab通過LBM實現對三維多孔介質流動D3Q19的模擬。

格子玻爾茲曼方法基礎

格子玻爾茲曼方法基於微觀粒子的運動和碰撞機制，通過離散的格子和有限的速度集來描述流體的宏觀行為。在三維空間中，D3Q19模型是常用的一種，其中“D3”表示三維空間，“Q19”表示19個離散速度方向。

這19個離散速度方向可以用向量來表示，在Matlab中我們可以這樣定義：

% 定義D3Q19的離散速度向量
e = zeros(19, 3);
e(1, :) = [0, 0, 0];
for i = 1:6
    e(i + 1, :) = sign(i - 3.5) * [(i > 3.5), (mod(i, 2) == 1), (i < 3.5)];
end
for i = 1:12
    ind = floor((i - 1) / 2);
    e(i + 7, :) = sign(ind - 1.5) * [(ind > 1.5), (mod(ind, 2) == 1), (ind < 1.5)];
    e(i + 7, find(e(i + 7, :))) = sign((i - 1) - 2 * ind) * e(i + 7, find(e(i + 7, :)));
end

這段代碼通過循環巧妙地生成了D3Q19模型所需的19個離散速度向量。首先定義了靜止速度向量 [0, 0, 0]，然後通過對索引的判斷和符號函數 sign

三維多孔介質模型

在模擬三維多孔介質流動時，我們需要構建一個多孔介質的模型。簡單起見，可以通過隨機生成孔隙率的方式來創建。假設我們要模擬一個大小為 Lx Ly Lz

% 定義多孔介質區域大小
Lx = 100;
Ly = 100;
Lz = 100;
% 隨機生成孔隙率，0表示固體，1表示流體
porosity = rand(Lx, Ly, Lz);

這裏使用 rand 函數生成了一個與模擬區域大小相同的隨機數組 porosity，其中的值在0到1之間，通過設定一個閾值（例如0.5）可以將其轉化為表示固體和流體的二元數組。

LBM模擬過程

LBM模擬主要包括碰撞和遷移兩個步驟。碰撞步驟根據當地的宏觀速度和密度來更新粒子分佈函數，遷移步驟則將粒子沿着離散速度方向移動一個格子。

碰撞步驟

在Matlab中實現碰撞步驟的代碼如下：

% 定義鬆弛時間
tau = 1.0;
% 碰撞步驟
for i = 1:19
    feq(:, :, :, i) = rho.* w(i).* (1 + 3 * dot(e(i, :), u, 3) + 4.5 * (dot(e(i, :), u, 3).^2) - 1.5 * sum(u.^2, 3));
    f(:, :, :, i) = f(:, :, :, i) - (1 / tau) * (f(:, :, :, i) - feq(:, :, :, i));
end

這裏首先計算了平衡態的粒子分佈函數 feq，公式基於格子玻爾茲曼方法的理論，與宏觀密度 rho、權重係數 w、離散速度向量 e 和宏觀速度 u 相關。然後通過鬆弛時間 tau 對當前的粒子分佈函數 f

遷移步驟

遷移步驟代碼如下：

% 遷移步驟
for i = 1:19
    f(:, :, :, i) = circshift(f(:, :, :, i), e(i, :), [1, 2, 3]);
end

circshift

邊界條件處理

在三維多孔介質模擬中，邊界條件的處理很關鍵。常見的有周期性邊界條件和無滑移邊界條件。對於週期性邊界條件，Matlab實現起來相對簡單：

% 週期性邊界條件處理
f(1, :, :, :) = f(end, :, :, :);
f(:, 1, :, :) = f(:, end, :, :);
f(:, :, 1, :) = f(:, :, end, :);

上述代碼將區域邊界的粒子分佈函數設置為對側邊界的值，實現了週期性邊界條件。

總結

通過上述步驟，我們基本實現了用Matlab基於格子玻爾茲曼方法對三維多孔介質流動D3Q19的模擬。當然，實際應用中還需要更多的優化和細節處理，比如更精確的多孔介質模型構建、邊界條件的精細化等。希望這篇博文能為你在相關領域的研究和學習提供一些思路和參考。