文章目錄

  • 一、函數的單調性
  • 1. 概念講解
  • 2. 手動求解步驟
  • 3. Python 案例
  • 二、函數的極值
  • 1. 概念講解
  • 2. 手動求解步驟
  • 3. Python 案例
  • 三、函數的最值
  • 1. 概念講解
  • 2. 手動求解步驟
  • 3. Python 案例


寶子們，今天咱們一起深入微積分的奇妙世界，探索函數的單調性、極值和最值這些重要概念！別擔心，我會結合超有趣的 Python 案例，讓這些知識變得通俗易懂~

一、函數的單調性

1. 概念講解

函數的單調性描述的是函數值隨着自變量的增大或減小而變化的趨勢。如果函數在某個區間上，自變量增大時函數值也增大，那就是單調遞增；反之，自變量增大時函數值減小，就是單調遞減。

2. 手動求解步驟

對於一個函數 用Python實現函數微分、積分與極限【學習筆記】_python利用定積分的定義求極限_IT_Henry_#微積分，我們可以通過求它的導數 用Python實現函數微分、積分與極限【學習筆記】_python利用定積分的定義求極限_IT_Henry_#人工智能_02

  • 求出函數的導數 用Python實現函數微分、積分與極限【學習筆記】_python利用定積分的定義求極限_IT_Henry_#數學_03。
  • 令 用Python實現函數微分、積分與極限【學習筆記】_python利用定積分的定義求極限_IT_Henry_#開發語言_04，解出不等式的區間，這些區間就是函數的單調遞增區間。
  • 令 用Python實現函數微分、積分與極限【學習筆記】_python利用定積分的定義求極限_IT_Henry_#人工智能_05，解出不等式的區間，這些區間就是函數的單調遞減區間。

3. Python 案例

我們以函數 用Python實現函數微分、積分與極限【學習筆記】_python利用定積分的定義求極限_IT_Henry_#數學_06 為例，來看看它的單調性。首先，我們需要導入 Python 的科學計算庫 numpy 和繪圖庫 matplotlib。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定義函數
def f(x):
    return x**2 - 3*x

# 求導
def df(x):
    return 2*x - 3

# 生成 x 值
x = np.linspace(-2, 4, 100)
y = f(x)
dy = df(x)

# 繪製函數圖像和導數圖像
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(x, y, label='y = x^2 - 3x')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend()

plt.subplot(2, 1, 2)
plt.plot(x, dy, label="y' = 2x - 3", color='r')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel("y'")
plt.axhline(y=0, color='k', linestyle='--')
plt.legend()

plt.tight_layout()
plt.show()

# 判斷單調性
critical_point = 3 / 2
print(f"當 x < {critical_point} 時，導數小於 0，函數單調遞減。")
print(f"當 x > {critical_point} 時，導數大於 0，函數單調遞增。")

運行結果:

用Python實現函數微分、積分與極限【學習筆記】_python利用定積分的定義求極限_IT_Henry_#微積分_07

用Python實現函數微分、積分與極限【學習筆記】_python利用定積分的定義求極限_IT_Henry_#開發語言_08

在這個案例中，我們先定義了原函數和它的導數函數，然後通過 numpy 生成一系列 用Python實現函數微分、積分與極限【學習筆記】_python利用定積分的定義求極限_IT_Henry_#人工智能_09

二、函數的極值

1. 概念講解

極值是函數在某個局部範圍內的最大值或最小值。也就是説，在極值點附近，函數值比周圍的點都大（極大值）或者都小（極小值）。

2. 手動求解步驟

求函數 用Python實現函數微分、積分與極限【學習筆記】_python利用定積分的定義求極限_IT_Henry_#微積分_10

  • 確定函數的定義域。
  • 求導數 用Python實現函數微分、積分與極限【學習筆記】_python利用定積分的定義求極限_IT_Henry_#數學_03。
  • 令 用Python實現函數微分、積分與極限【學習筆記】_python利用定積分的定義求極限_IT_Henry_#人工智能_12，求出駐點，以及找出 用Python實現函數微分、積分與極限【學習筆記】_python利用定積分的定義求極限_IT_Henry_#數學_03
  • 列表分析這些點兩側導數的正負性，確定是極大值點還是極小值點。
  • 將極值點代入原函數，求出對應的極值。

3. Python 案例

同樣以函數 用Python實現函數微分、積分與極限【學習筆記】_python利用定積分的定義求極限_IT_Henry_#數學_06

from scipy.optimize import minimize_scalar

# 定義函數
def f(x):
    return x**2 - 3*x

# 尋找極小值
res = minimize_scalar(f)
min_x = res.x
min_y = f(min_x)

print(f"函數的極小值點為 x = {min_x}，極小值為 y = {min_y}")

這裏我們使用了 scipy 庫中的 minimize_scalar 函數來尋找函數的極小值。當然，我們也可以手動按照上述步驟，先求導找到駐點，再判斷是極大值還是極小值。

用Python實現函數微分、積分與極限【學習筆記】_python利用定積分的定義求極限_IT_Henry_#微積分_15

三、函數的最值

1. 概念講解

最值是函數在整個定義域內的最大值和最小值。它可能是區間端點處的函數值，也可能是區間內的極值。

2. 手動求解步驟

求連續函數 用Python實現函數微分、積分與極限【學習筆記】_python利用定積分的定義求極限_IT_Henry_#微積分_10 在閉區間 用Python實現函數微分、積分與極限【學習筆記】_python利用定積分的定義求極限_IT_Henry_#微積分_17

  • 求出函數在 用Python實現函數微分、積分與極限【學習筆記】_python利用定積分的定義求極限_IT_Henry_#微積分_18
  • 計算函數在這些點以及區間端點 用Python實現函數微分、積分與極限【學習筆記】_python利用定積分的定義求極限_IT_Henry_#數學_19 和 用Python實現函數微分、積分與極限【學習筆記】_python利用定積分的定義求極限_IT_Henry_#python_20
  • 比較這些函數值的大小，最大的就是最大值，最小的就是最小值。

3. Python 案例

假設我們有一個函數 用Python實現函數微分、積分與極限【學習筆記】_python利用定積分的定義求極限_IT_Henry_#python_21，在區間 用Python實現函數微分、積分與極限【學習筆記】_python利用定積分的定義求極限_IT_Henry_#人工智能_22

import numpy as np

# 定義函數
def f(x):
    return 3 * np.cbrt(x**2) - 2*x

# 區間端點
a = -1
b = 0.5

# 生成區間內的點
x_values = np.linspace(a, b, 100)
y_values = f(x_values)

# 繪製函數圖像
import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(x_values, y_values)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Function y = 3√[3]{x^2} - 2x on [-1, 0.5]')
plt.show()

# 尋找臨界點：包括導數為零的點（駐點）和導數不存在的點
# 由於導數 f'(x) = 2*x^(-1/3) - 2，令導數為零得 x=1（不在區間內），導數不存在的點為 x=0
critical_points = [a, b, 0]  # 包括端點和 x=0

y_endpoints = [f(x) for x in critical_points]

max_index = np.argmax(y_endpoints)
min_index = np.argmin(y_endpoints)

print(f"函數在區間 [{a}, {b}] 上的最大值為 {y_endpoints[max_index]}，在 x = {critical_points[max_index]} 處取得。")
print(f"函數在區間 [{a}, {b}] 上的最小值為 {y_endpoints[min_index]}，在 x = {critical_points[min_index]} 處取得。")

用Python實現函數微分、積分與極限【學習筆記】_python利用定積分的定義求極限_IT_Henry_#微積分_23

用Python實現函數微分、積分與極限【學習筆記】_python利用定積分的定義求極限_IT_Henry_#微積分_24

通過這個案例，我們不僅用 Python 繪製了函數圖像直觀地觀察最值情況，還簡單演示了求解最值的流程。

寶子們，今天的微積分知識分享就到這裏啦！希望這些內容能讓你對函數的單調性、極值和最值有更清晰的理解。如果你覺得有用，別忘了點贊、關注哦！也歡迎在評論區留言，説説你對這些知識的理解或者提出疑問，咱們一起交流進步~