虛數i

虛數是什麼？

為什麼要承認虛數？

虛數怎麼就表示旋轉了？

其實，人們建立複數理論，並不是因為人們有時需要處理根號裏是負數的情況，而是因為下面這個不可抗拒的理由：如果承認虛數，那麼 n 次多項式就會有恰好 n 個根，數系一下子就如同水晶球一般的完美了。

但複數並不能形象地反映在數軸上，這不僅是因為實數在數軸上已經完備了，還有另外一個原因：沒有什麼幾何操作連做兩次就能實現取相反數。比如，“乘以 3”就代表數軸上的點離原點的距離擴大到原來的三倍，“3 的平方”，也就是“乘以 3 再乘以 3”，就是把上述操作連做兩次，即擴大到 9 倍。同樣地，“乘以 -1”表示把點翻折到數軸另一側，“-1 的平方”就會把這個點又翻回來。

但是，怎麼在數軸上表示“乘以 i ”的操作？換句話説，什麼操作連做兩次能夠把 1 變成 -1 ？一個頗具革命性的創意答案便是，把這個點繞着原點旋轉 90 度。轉 90 度轉兩次，自然就跑到數軸的另一側了。

沒錯，這就把數軸擴展到了整個平面，正好解決了複數沒地方表示的問題。於是，複數的乘法可以解釋為縮放加旋轉，複數本身自然也就有了 z = r (cosθ + sinθi) 的表示方式。順着這個道理推下去，一切都順理成章了。複數不但有了幾何解釋，有時還能更便捷地處理幾何問題

線性代數

此處網頁，有人一語道破線性代數的真諦。
就好像把 x 變成 2 x 一樣，我們經常需要把 (x, y) 變成 (2 x + y, x – 3 y) 之類的東西，這就叫做線性變換。

於是才想到定義矩陣乘法，用於表示一切線性變換。幾何上看，把平面上的每個點 (x, y) 都變到 (2 x + y, x – 3 y) 的位置上去，效果就相當於對這個平面進行了一個“線性的拉扯”。

矩陣的乘法，其實就是多個線性變換疊加的效果，它顯然滿足結合律，但不滿足交換律。

主對角線全是 1 的矩陣所對應的線性變換其實就是不變的意思，因此它叫做單位矩陣。

矩陣 A 乘以矩陣 B 得單位矩陣，就是做完線性變換 A 後再做一次線性變換 B 就又變回去了的意思，難怪我們説矩陣 B 是矩陣 A 的逆矩陣。

課本上對行列式的定義千奇百怪，又是什麼遞歸，又是什麼逆序對，還編寫口訣幫助大家記憶。

其實，行列式的真正定義就一句話：每個單位正方形在線性變換之後的面積。因此，單位矩陣的行列式當然就為 1，某行全為 0 的行列式顯然為 0 （因為某一維度會被無視掉，線性變換會把整個平面壓扁）， |A·B| 顯然等於 |A|·|B| 。行列式為 0 ，對應的矩陣當然不可逆，因為這樣的線性變換已經把平面壓成一條線了，什麼都不能把它變回去了。當然，更高階的矩陣就對應了更高維的空間。

一瞬間，所有東西都解釋清楚了。

最近看到李澤湘教授的一句話，“很多工業界用的算法是錯的，所以很難做到質量標準的提升，和工匠的定位。”