中心移動平均
中心移動平均主要用於時間序列分解，特別是在估計趨勢-週期成分時。它的核心特點是“對稱性”。
核心思想：將移動平均窗口置於數據的“中心”，使得平均值能夠對齊到窗口的時間中點，從而最大限度地減少滯後性。
計算方法
對於一個時間序列，其 N 期中心移動平均值是將窗口置於當前點的兩側。
- 如果 N 是奇數（例如 N=3, 5），則直接計算對稱窗口的平均值。
其中
，這樣平均值就對應着窗口正中央的時刻 t
- 如果 N 是偶數（例如 N=4），計算一次平均後，其值會落在兩個時間點之間（例如，落在 t=2.5），因此需要進行一次“居中調整”，即對相鄰的兩個移動平均值再取一次平均，使其回到整數時間點上。
優缺點
優點
- 無滯後性（理想情況下）：因為是對稱加權，所以得到的趨勢線能很好地與原始數據的趨勢中心對齊，不會像SMA或EMA那樣產生相位滯後。
- 能更好地保留信號的原始形狀，不會扭曲峯值和谷值。
缺點
- 在序列兩端會丟失數據。例如，一個3期中心移動平均，在序列的開始和結束處各會有1個數據點無法計算。
- 計算比SMA複雜。
適用場景：時間序列分解、季節調整（如在美國人口調查局的X-13A-S季節性調整程序中廣泛使用）、需要無偏估計長期趨勢的場合。
示例
數據：[2, 4, 6, 8, 10], N=3（中心）
第一個平均值（對應第2個數據點）：(2+4+6)/3 = 4
第二個平均值（對應第3個數據點）：(4+6+8)/3 = 6
第三個平均值（對應第4個數據點）：(6+8+10)/3 = 8
平滑後的數據為：[4, 6, 8]，但請注意，這些值分別對應原始數據的第2、3、4個位置，首尾各損失一個點。
Ｃ語言代碼實現
// 中心移動平均
void centered_moving_average(const double input[], double output[], int data_size, int window_size) {
if (window_size > data_size || window_size <= 0) {
printf("Error: Invalid window size\n");
return;
}
if (window_size % 2 == 0) { //取餘數
printf("Error: Window size must be odd for centered moving average\n");
return;
}
int offset = window_size / 2;
// 填充開頭無法計算的部分
for (int i = 0; i < offset; i++) {
output[i] = 0.0;
}
// 計算中心移動平均
for (int i = offset; i < data_size - offset; i++) {
double sum = 0.0;
for (int j = -offset; j <= offset; j++) {
sum += input[i + j];
}
output[i] = sum / window_size;
}
// 填充結尾無法計算的部分
for (int i = data_size - offset; i < data_size; i++) {
output[i] = 0.0;
}
}算法測試：
int main(){
//測試數據
double data[] = {2.0, 4.0, 6.0, 8.0, 10.0, 12.0, 14.0, 16.0, 18.0, 20.0};
int data_size = sizeof(data) / sizeof(data[0]);
double cma_result[10] = {0};
printf("原始數據: \n");
for(int i = 0; i < data_size; i++)
printf("%.1f ",data[i]);
printf("\n");
// 測試中心移動平均 (窗口大小=3)
centered_moving_average(data, cma_result, data_size, 3);
printf("中心移動平均 (窗口大小=3):\n");
for(int i = 0; i < data_size; i++)
printf("%.1f ",sma_result[i]);
printf("説明: 中間 %d 個值是有效結果，首尾是填充的0\n\n", data_size - 2);
}測試結果：
