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定點數

原碼乘法

目錄 定點數

1 定點數的表示

1.1 無符號數的表示

1.2 帶符號數的表示

(1) 定點整數

(2) 定點小數

(3) 原碼錶示

(4) 補碼錶示

(5) 反碼錶示

(6) 移碼

定點數與浮點數的比較

　　【dìng diǎn shù 】

　　計算機中採用的一種數的表示方法。參與運算的數的小數點位置固定不變。

1 定點數的表示

1.1 無符號數的表示

　　指整個機器字長的全部二進制位均表示數值位，相當於數的絕對值。若機器字長為n+1為，則數值表示為：

　　X=X0X1X2...Xn 其中Xi={0,1}, 0<=i<=n 即X0*2^n + X1*2^(n-1) + X2*2^(n-2) + ... + Xn-1*2 + Xn

　　數值範圍是 0≤X≤2^(n+1) - 1

　　例如：1111表示15。

1.2 帶符號數的表示

　　最高位被用來表示符號位，而不再表示數值位。

(1) 定點整數

　　小數點位固定在最後一位之後稱為定點整數。若機器字長為n+1為，數值表示為：

　　X=X0X1X2...Xn，其中Xi={0,1},0≤i≤n 即(-1)^X0 * (X1*2^(n-1) + X2*2^(n-2) + ... + Xn-1*2 + Xn)

　　數值範圍是 -(2^n-1)≤0≤2^n-1

　　例如：1111表示-7。

(2) 定點小數

　　小數點固定在最高位之後稱為定點小數。若機器字長為n+1為，數值表示為：

　　X=X0.X1X2...Xn，其中Xi={0,1},0≤i≤n (這裏X0不表示數字，只表示符號，若X0=0，則代表X=0.X1X2...Xn，X0=1，則代表-0.X1X2...Xn)。

　　即 (-1)^X0 * (X1*2^(-1)) + X2*2^(-2) + ... + Xn-1*2^(-n+1) + Xn*2^(-n)

　　數值範圍是 -(1-2^(-n))≤X≤1-2^(-n)

　　例如：1111表示-0.875

　　（定點小數也被用在浮點數的尾數(Mantissa)部分）

(3) 原碼錶示

　　原碼是用機器數的最高一位代表符號，以下給位給出數值絕對值的表示方法。其定義為：

　　整數：
[X]原=X (0≤ x<2^n)

　　[X]原=2^n-X (-2^n<X≤0)

　　小數：

　　[X]原=X (0≤X<1)

　　[X]原=1-X (-1<X≤0)

　　這裏X是數的實際值（真值），[X]原為原碼錶示的機器數。

　　例如：真值X=+1001，[X]原=01001；真值X=-1001，[X]原=10000-(-1001)=11001；真值X=-0.1001，[X]原=1-(-0.1001)=1.1001。

　　原碼的性質：

　　1. 符號位+數的絕對值。

　　2. 0有兩個編碼。

　　3. 加減運算規則複雜，乘除運算規則簡單。

　　4. 表示簡單，易於和真值之間進行轉換。

　　原碼的運算：

　　加法：

　　先判斷符號位，若相同，絕對值相加，結果符號位不變；若不同，絕對值大的數減去絕對值小的數，符號位和絕對值大的數相同。

　　[X]原=00010，[Y]原=01010，X+Y=00000+1010+0010=01100；[X]原=10010，[Y]原=01010，X+Y=00000+1010-10=01000。

　　減法：

　　將減數符號取反，然後將被減數和符號取反的減數相加。

　　[X]原=10010，[Y]原=01010，X-Y=10010+11010=10000+0010+1010=11100。

　　乘法(原碼一位乘)：

　　是模擬豎式手算的方法。引入一個值為部分積(初值為0)。符號位是被乘數和乘數符號位的異或值。之後檢視乘數(符號位以外)從低向高的每一位，若為1，部分積(對齊最高位)加被乘數(符號位以外)，並右移一位；若為0，部分積加0，右移一位。

　　例如：[X]原=11101，[Y]原=01011。X*Y:符號位S=1⊕0=1 

　　則X*Y=110001111。

　　除法(交替加減法)：符號位為被除數和除數符號位異或獲得。之後被除數減除數(補碼錶示)，當餘數為正時，商“1”，餘數左移一位減除數；當餘數為負時，商“0”，餘數左移一位，加除數。

　　例如：[X]原 = 0.1001，[Y]補= 0.1011，X/Y：

　　

除法

　　餘數r0＜0，商0

　　商0，r和q左移一位

　　加y

　　餘數r1＞0，商1

　　商1，r和q左移一位

　　減y

　　餘數r2＞0，商1

　　商1，r和q左移一位

　　減y

　　餘數r3＜0，商0

　　商0，r和q左移一位

　　加y

　　餘數r4＞0，商1

　　X/Y 的商 [Q]原 = 0.1101，餘數[R]原 = 0.0001。

(4) 補碼錶示

　　補碼定義為： 

　　整數：
[X]補=X (0≤X<2^n)

　　[x]補=2^(n+1)+X (-2^n<X≤0 mod 2^(n+1)(意味相對與2^(n+1)做補))

　　小數：

　　[X]補=X (0≤X<1)

　　[x]補=2+X (-1<X≤0 mod 2(意味相對與2做補))

　　例如：真值X=+1001，[X]補=01001；真值X=-1001，[X]補=100000+(-1001)=100000-1001=10111;真值X=-0.1001，[X]補=2+(-0.1001)=10-0.1001=1.0111。

　　補碼的性質：

　　1. 機器數和真值的關係為： [X]補=2*符號位+X

　　2. [X]補和真值的關係：X=[X]補 - 2*X0=X0.X1X2...Xn - 2*X0=-X0 + 0.X1X2...Xn

　　3. 0有唯一的編碼。

　　4. 兩數補碼加法，把符號位和數值位等同處理，結果的符號位與數值位都正確。

　　5. 補碼數的算數移位

　　把[X]補的符號位和數值位一起右移一位並保持原符號位的值不變，可用來實現除法功能（除以2）。

　　變形補碼，又稱模4補碼，把普通補碼由模2改為模4，其中雙符號位00代表正，11代表負，01上溢，10下溢。

(5) 反碼錶示

　　反碼是用機器數的最高位代表符號，數值位是對負數各位取反的表示方法，定義為：

　　整數：

　　[X]反=X (0≤X<2^n)

　　[X]反=(2^(n+1)-1)+X (-2^n<X≤0 mod (2^(n+1)-1))

　　小數：

　　[X]反=X (0≤X<1)

　　[X]反=(2-2^(-n))+X (-1<X≤0 mod (2-2^(-n)))

　　例如：真值X=+1001，[X]反=01001；真值X=-1001，[X]反=10110;真值X=-0.1001，[X]反=1.0110。

　　反碼的性質：

　　0有2個編碼。

　　現在計算機中，較少使用反碼。

(6) 移碼

　　移碼定位為：

　　[X]移=2^n+X (-2^(-n)≤X<2^n)

　　當真值用補碼錶示時，由於符號位和數值部分一起編碼，與習慣上的表示法不同，因此人們很難從補碼的形式上直接判斷其真值的大小。

　　十進制數X=31，對應的二進制數為+11111，則[X]補=011111；十進制數X=-31，對應的二進制數為-11111，則[X]補=100001，看上去好像100001>011111，其實正好相反。如果我們對每個真值加上一個2^n，X=11111加上2^5可得11111+100000=111111；X=-11111加上2^5可得-11111+100000=000001,這樣就可以直接通過二進制代碼比較大小。

　　移碼的性質：

　　1. 最高位為符號位。

　　2. 0有唯一編碼。

　　3. 保持了數據原有的大小順序。

　　4. 移碼只用於浮點數的階碼部分，故只用於表示整數。

定點數與浮點數的比較

　　數值的表示範圍 ：浮點表示法所能表示的數值範圍將遠遠大於定點表示法 。

　　精度 ：對於字長相同的定點數與浮點數來説，浮點數雖然擴大了數的表示範圍，但這是以降低精度為代價的，也就是數軸上各點的排列更稀疏了 。

　　數的運算 ：浮點運算要比定點運算複雜 。