在上一篇中，我們介紹了最小噪聲分數變換 MNF，它在 PCA 基礎上引入噪聲建模的一種改進降維方法，但我們也提到了:MNF 依賴噪聲估計，其效果很大程度依賴噪聲協方差矩陣的估計，如果噪聲估計不準確，降維效果可能明顯下降。

換句話説，噪聲估計的質量，直接決定了 MNF 的最終效果。

因此，如果希望在高光譜圖像處理中更好地應用 MNF，一個關鍵問題就是：

如何更準確地估計圖像中的噪聲？

這也是本篇文章的主要內容。
我們從上一篇中提到的空間差分方法出發，進行對噪聲估計方法的簡單綜述，簡要講解現存的幾類噪聲估計方法的基本原理與適用場景。

1. 差分類方法（Difference-based Methods）

差分類方法的核心思想是：利用鄰域像素之間的差值來削弱真實信號，從而突出噪聲成分。
展開來説，在自然圖像或高光譜圖像中，真實信號通常具有一定的空間連續性，相鄰像素之間變化較為平滑。而噪聲往往是隨機波動的，因此，對相鄰像素進行差分運算時，信號部分往往會相互抵消，而噪聲則會被保留下來。

在諸多方法中，這類方法的優點是實現簡單、計算效率高。
但與此同時，差分法依賴一個重要假設：相鄰像素之間的真實信號變化較小。當圖像中存在明顯的邊緣或紋理結構時，差分結果會混入真實信號變化，從而導致噪聲被高估。
而且，差分法只利用局部空間信息，而沒有利用高光譜數據中波段之間的相關性，也讓其在複雜任務中稍顯遜色。
因此，這類方法更適用於圖像變化較平滑的場景，作為一種快速、基礎的噪聲估計手段。

差分類方法中最簡單的就是我們在上一篇中使用的單向空間差分（Spatial Difference）：

其利用相鄰像素之間的簡單差值來估計噪聲。

而在此基礎上一種簡單的改進方法是使用雙向差分（Bidirectional Difference）。
在剛剛的空間差分中，我們只在一個方向上進行差分，但實際上，圖像結構可能在某個方向上變化較大，如果只使用單一方向的差分，可能會把真實信號變化誤當成噪聲。
因此，可以同時在水平和垂直方向進行差分：

然後再將兩個方向的差分結果進行統計，例如計算整體方差，從而得到更加穩定的噪聲估計。

還沒完，在此基礎上，還可以進一步擴展為多方向差分（Directional Difference）:
這種方法不僅考慮水平和垂直方向，還會加入對角線方向的差分，例如：

這樣就可以在多個方向上估計噪聲，然後將這些差分結果綜合起來進行統計分析。
多方向差分可以進一步降低圖像中邊緣、紋理等局部結構變化對噪聲估計造成的干擾，從而獲得更加可靠的估計結果。

我們用一個簡單的實例來進行演示：
接下來我們利用這些像素，通過不同的差分方式構造噪聲樣本。
假設有 四個相鄰像素：\(P_1、P_2、P_3、P_4\)，它們在空間中的位置如下：

其中，每個像素都是一個 3 維光譜向量（3 個波段）:

現在，在這個 \(2\times2\) 的鄰域中，豎直方向可以得到兩組相鄰像素：

• 第一列：\(P_1\) 與 \(P_3\)
• 第二列：\(P_2\) 與 \(P_4\)

因此計算它們的差分：

可以看到，每一次像素差分都會得到一個 3 維噪聲向量。
接下來，我們將這些差分結果按行堆疊，構造噪聲樣本矩陣：

在這個矩陣中：每一行就表示一個噪聲樣本，每一列就表示一個波段的噪聲值。

現在，我們都得到了使用單向差分構造的噪聲樣本矩陣，下一步，我們就在此基礎上使用雙向差分來看看：
在雙向差分中，我們不僅考慮 豎直方向，還要加入 水平方向 的差分。
因此我們繼續計算水平方向差分：

可以看到，水平方向同樣得到了兩個 3 維噪聲樣本向量。接下來，我們將 豎直方向和水平方向得到的噪聲樣本統一堆疊，構造新的噪聲樣本矩陣：

可以看到，相比單向差分，雙向差分產生了 兩倍數量的噪聲樣本。
因此，我們獲得了 更多的噪聲觀測數據，從而能夠得到更加穩定的噪聲統計結果。

最後，我們進一步加入 對角線方向的差分：

我們將得到的噪聲樣本統一堆疊，構造完整的噪聲樣本矩陣如下：

你會發現，通過在多個方向上構造差分，我們不僅能夠獲得更多的噪聲觀測數據，還可以降低圖像中某一特定方向結構變化對噪聲估計造成的影響，從而得到更加穩定和可靠的噪聲統計結果。

2. 統計類方法（Statistics-based Methods）

統計類方法的核心思想是：利用圖像局部區域的統計特性來估計噪聲強度。
這類方法同樣基於一個基本假設：在較小的空間窗口內，真實信號變化相對緩慢，因此像素之間的差異主要來源於噪聲。如果能夠在圖像中找到變化較平緩的區域，那麼該區域內像素的統計波動就可以用來估計噪聲強度。

從思想上來看，這類方法與前面介紹的差分類方法有一定相似之處：二者都依賴於“局部區域內真實信號相對穩定”的假設。不同之處在於，差分法通過計算相鄰像素之間的差值來顯式削弱信號，而統計類方法則是通過分析局部像素分佈的統計特性（如方差）來間接估計噪聲水平。
在實際應用中，統計類方法通常會在圖像上使用滑動窗口計算局部統計量，或者篩選出方差較小的平滑區域進行估計，因此相比簡單差分方法往往具有更好的穩定性。
但它也同樣有其缺陷，統計類方法對窗口尺寸的選擇敏感，過小窗口可能無法充分反映噪聲統計特性，過大窗口又可能引入更多信號變化，對估計精度產生影響。
同時，對於非平穩噪聲，其適應性也較差。

因此，這類方法同樣適用於信號變化較平緩、平滑區域豐富的圖像，作為一種穩健的噪聲估計手段，適合需要對每個波段分別評估噪聲強度的高光譜圖像。

最常用的統計方法是局部方差估計（Local Variance Estimation）。
其基本步驟通常如下：

1. 在圖像中選取一個局部窗口，例如 \(5\times5\) 或 \(7\times7\)。
2. 計算窗口內像素的均值。
3. 再計算窗口內像素相對於均值的方差，並將其作為噪聲強度的估計。

其思想也比較好理解：假定某個區域的像素屬於同一個分類，那麼像素值本應接近一致，因此局部像素的波動（方差）主要來源於噪聲，這樣就可以用方差來量化噪聲強度。

在此基礎上，還可以進一步進行改進。例如，一些方法會在整幅圖像中滑動窗口，計算大量局部方差，然後選擇方差最小的一部分區域作為噪聲估計的依據。
這是因為方差較小的區域通常對應信號變化較平滑的背景區域，因此更接近真實噪聲水平。

同樣來看一個實例：
假設在某個局部窗口中，我們觀測到 5 個像素，每個像素包含 3 個波段，數據如下：

首先，計算每個波段的均值向量：

然後，將每個像素與均值向量的差值構成偏差矩陣：

接下來，計算噪聲協方差矩陣：

現在，我們得到的局部協方差矩陣就可以直接用於 MNF 白化步驟。
而如果我們選擇了多個局部窗口，得到的多個協方差矩陣也只需要取平均聚合後，就可以應用於 MNF。

此外，除去使用方差之外，也存在使用標準差、絕對偏差、最小二乘擬合殘差或 robust 方差的形式，但只是所求統計量的不同，其基本邏輯仍是一樣的。

3. 迴歸類方法（Regression-based Methods）

迴歸類方法的核心思想是：通過建立像素或波段之間的預測關係，將預測殘差視作噪聲，從而進行噪聲估計。
與前兩類方法相比，迴歸類方法不僅利用局部空間信息，還可以利用高光譜數據中波段間的相關性，因此在多波段高光譜圖像中往往更加精確。
在不考慮計算成本、只追求噪聲估計精度的情況下，迴歸類方法是目前高光譜領域最權威、精確的噪聲估計方法。

迴歸類方法常見做法如下：

1. 對目標波段建立迴歸模型，用相鄰像素或其他波段進行預測。
2. 計算預測殘差，將殘差作為噪聲樣本。
3. 對整個圖像或多個像素重複該過程，得到噪聲估計矩陣或協方差矩陣，可直接用於 MNF 白化或噪聲分析。

對這類方法，我們需要先補充一部分理論基礎：
首先，高光譜圖像的波段間是高度相關的：高光譜圖像的每個像素都有多個波段，這些波段的光譜響應往往是連續且相關的。比如對於植被像素，紅邊波段和近紅外波段的值之間存在一定的線性或非線性關係。
一般來説，高光譜圖像中波段距離越近，相關性越強。但噪聲是設備誤差等原因產生的，它通常在各個波段中是隨機的。

因此，當我們選取波段相近的幾個鄰居，用迴歸模型去預測一個波段的真實信號，再計算觀測值與其的殘差，得到的不符合預測模式的波動，我們就認為這是噪聲。

同樣來看一個例子：
假設某像素在 三個波段 的觀測值為：

此時，我們希望估計波段 3 的噪聲。就可以利用波段 1 和波段 2 的值建立一個線性迴歸模型：$$ \hat{x}_3 = a \cdot x_1 + b \cdot x_2 + c $$ 在圖像中選取多個像素，利用最小二乘法或其他迴歸方法求解參數 \(a, b, c\)。得到預測值，我們假定如下：

下面，我們將實際觀測值與預測值相減，就能得到殘差：

這個殘差 \(r=2\) 就可以作為該像素在波段 3 上的噪聲樣本，對圖像中多個像素重複上述過程，就可以得到整幅圖像波段 3 的噪聲樣本向量。

如果對每個波段都建立類似迴歸模型，得到各波段的殘差向量，就可以構造完整的噪聲樣本矩陣 \(N\)：

其中每一行表示一個像素的殘差，每一列表示一個波段的噪聲樣本。然後就可以進一步計算噪聲協方差矩陣。
迴歸類方法 利用波段間的相關性，可以得到更精確的噪聲協方差矩陣，從而在後續的 MNF 或噪聲白化處理中提供可靠的噪聲信息，是目前公認的高精度噪聲估計方法。
在目前的高光譜噪聲估計領域，研究重點也大都集中在改進迴歸模型精度、引入非線性或多變量預測策略，以進一步提高噪聲估計的可靠性上。

4.總結